Capítulo 7 — Existencia, Unicidad y Estabilidad

Fundamentos teóricos de las ecuaciones diferenciales y estabilidad de soluciones
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Teorema de Picard-Lindelöf

El teorema de Picard-Lindelöf (también conocido como teorema de Cauchy-Lipschitz) es el resultado central sobre existencia y unicidad de soluciones para problemas de valor inicial. Consideremos el problema

$$ y' = f(t,y), \qquad y(t_0) = y_0, $$

donde $f: D \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es una función definida en un dominio $D$. El teorema establece condiciones suficientes para garantizar que este problema admite una única solución local.

Condición de Lipschitz

Se dice que $f(t,y)$ satisface una condición de Lipschitz en la variable $y$ sobre un conjunto $D$ si existe una constante $L > 0$ tal que

$$ \|f(t, y_1) - f(t, y_2)\| \leq L \|y_1 - y_2\|, \quad \forall (t,y_1), (t,y_2) \in D. $$

Esta condición es más fuerte que la continuidad pero más débil que la diferenciabilidad: toda función de clase $C^1$ es localmente Lipschitz, pero existen funciones Lipschitz que no son diferenciables.

Teorema (Picard-Lindelöf): Si $f$ es continua en un rectángulo $R = [t_0-a, t_0+a] \times \overline{B}(y_0,b)$ y satisface la condición de Lipschitz en $R$, entonces existe una única solución $y(t)$ del PVI definida en el intervalo $[t_0 - \alpha, t_0 + \alpha]$ donde

$$ \alpha = \min\left(a,\; \frac{b}{M}\right), \qquad M = \max_{(t,y)\in R} \|f(t,y)\|. $$

La demostración se basa en el principio de contracción de Banach aplicado al operador integral de Picard en el espacio de funciones continuas. La unicidad se pierde si la condición de Lipschitz no se cumple: por ejemplo, la ecuación $y' = \sqrt{|y|}$ con $y(0) = 0$ admite infinitas soluciones.

2. Iteraciones de Picard

Las aproximaciones sucesivas de Picard constituyen un método constructivo para hallar la solución. Partiendo de una función inicial $\varphi_0(t) \equiv y_0$, se define la sucesión

$$ \varphi_{n+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, \varphi_n(s))\, ds, \qquad n = 0, 1, 2, \dots $$

La sucesión $\{\varphi_n(t)\}$ converge uniformemente a la solución exacta $y(t)$ en el intervalo de existencia. La convergencia está garantizada por el teorema del punto fijo de Banach, y la velocidad de convergencia es lineal.

Ejemplo: Para el PVI $y' = y$, $y(0) = 1$, las iteraciones producen: $$ \varphi_0(t) = 1, \quad \varphi_1(t) = 1 + t, \quad \varphi_2(t) = 1 + t + \frac{t^2}{2}, \quad \dots $$ convergiendo a $y(t) = e^t$.

$$ \varphi_n(t) = \sum_{k=0}^{n} \frac{t^k}{k!} \xrightarrow{n\to\infty} e^t. $$

En la práctica, este método es más útil como herramienta teórica para demostrar existencia que como método numérico, aunque también proporciona una cota del error:

$$ \|y(t) - \varphi_n(t)\| \leq \frac{M L^n}{(n+1)!} |t - t_0|^{n+1} e^{L|t - t_0|}. $$

3. Prolongación de Soluciones

Una solución local puede extenderse mientras no abandone el dominio de definición de $f$. El intervalo maximal de existencia $(\alpha, \omega)$ es el mayor intervalo abierto sobre el cual la solución puede definirse. Existen dos mecanismos fundamentales por los cuales una solución deja de existir:

  • Escape en tiempo finito (blow-up): la solución tiende a infinito cuando $t$ se aproxima a un valor finito. Por ejemplo, $y' = y^2$, $y(0)=1$ tiene solución $y(t) = 1/(1-t)$ que explota en $t = 1$.
  • Abandono del dominio: la solución alcanza la frontera del dominio donde $f$ está definida en tiempo finito.

Criterio de prolongación

Si $f$ está definida para todo $(t,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ y satisface una condición de Lipschitz global, entonces toda solución maximal existe para todo $t \in \mathbb{R}$ (existencia global).

Si $f$ es solo localmente Lipschitz, la solución puede tener tiempo de vida finito. El teorema de extensión afirma que si el intervalo maximal es $(\alpha, \omega)$ con $\omega < \infty$, entonces necesariamente $\limsup_{t \to \omega^-} \|y(t)\| = \infty$ o la solución abandona el dominio.

4. Dependencia Continua de Condiciones Iniciales

Para que un modelo físico sea bien puesto (well-posed), no basta con que exista una única solución: pequeñas perturbaciones en los datos iniciales deben producir pequeñas perturbaciones en la solución. Esta propiedad se denomina dependencia continua respecto de las condiciones iniciales.

La herramienta clave para demostrarla es la desigualdad de Gronwall, en sus formas diferencial e integral:

$$ u(t) \leq \alpha + \int_{t_0}^{t} \bigl( \beta(s) u(s) + \gamma(s) \bigr) ds \quad\Longrightarrow\quad u(t) \leq \alpha\, e^{\int_{t_0}^{t} \beta(s)ds} + \int_{t_0}^{t} \gamma(s)\, e^{\int_{s}^{t} \beta(r)dr} ds. $$

En particular, si $\gamma \equiv 0$, se obtiene la forma clásica: $u(t) \leq \alpha \exp(\int_{t_0}^t \beta(s)ds)$. Esta desigualdad permite acotar la diferencia entre dos soluciones que parten de condiciones iniciales cercanas:

$$ \|y(t; y_0) - y(t; \tilde{y}_0)\| \leq \|y_0 - \tilde{y}_0\|\, e^{L|t-t_0|}, $$

donde $L$ es la constante de Lipschitz de $f$. Esto demuestra que la solución depende Lipschitz-continuamente del dato inicial en intervalos compactos.

Problema bien puesto (Hadamard)

Un problema de valor inicial es bien puesto si satisface tres condiciones:

  1. Existencia: existe al menos una solución.
  2. Unicidad: la solución es única.
  3. Dependencia continua: la solución depende continuamente de los datos iniciales y parámetros.

El teorema de Picard-Lindelöf junto con la desigualdad de Gronwall garantizan que todo PVI con $f$ Lipschitz es localmente bien puesto.

5. Estabilidad según Lyapunov

La teoría de estabilidad de Lyapunov (1892) clasifica el comportamiento cualitativo de soluciones cercanas a un punto de equilibrio. Consideremos un sistema autónomo $\dot{x} = f(x)$ con un punto de equilibrio $x^*$ tal que $f(x^*) = 0$. Sin pérdida de generalidad, trasladamos el equilibrio al origen.

Definiciones: El origen es:

  • Estable (en sentido de Lyapunov) si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $\|x(0)\| < \delta$ implica $\|x(t)\| < \varepsilon$ para todo $t \geq 0$.
  • Asintóticamente estable si es estable y además $\lim_{t\to\infty} \|x(t)\| = 0$ para toda condición inicial en un entorno del origen.
  • Inestable si no es estable.
$$ \forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0 : \|x(0)\| < \delta \;\Longrightarrow\; \sup_{t \geq 0}\|x(t)\| < \varepsilon. $$

La linealización (primer método de Lyapunov) permite analizar la estabilidad mediante los autovalores de la matriz jacobiana $Df(x^*)$: si todos los autovalores tienen parte real negativa, el equilibrio es asintóticamente estable; si alguno tiene parte real positiva, es inestable. El caso de autovalores con parte real nula requiere un análisis no lineal (método directo).

Estabilidad vs. estabilidad asintótica

Un centro en un sistema lineal ($y'' + \omega^2 y = 0$) es estable pero no asintóticamente estable: las órbitas son curvas cerradas que no convergen al origen. La fricción ($y'' + \gamma y' + \omega^2 y = 0$, $\gamma > 0$) produce un foco estable, que sí es asintóticamente estable.

6. Funciones de Lyapunov

El segundo método de Lyapunov (o método directo) permite determinar la estabilidad sin resolver explícitamente el sistema. La idea es encontrar una función escalar $V(x)$ análoga a la energía que decrezca a lo largo de las trayectorias.

Sea $V: U \to \mathbb{R}$ una función $C^1$ definida en un entorno $U$ del origen. Se define la derivada orbital de $V$ a lo largo de las soluciones de $\dot{x} = f(x)$ como:

$$ \dot{V}(x) = \nabla V(x) \cdot f(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i}(x)\, f_i(x). $$

Teorema de Lyapunov:

  • Si $V(x) > 0$ para $x \neq 0$, $V(0) = 0$, y $\dot{V}(x) \leq 0$ en $U$, entonces el origen es estable.
  • Si además $\dot{V}(x) < 0$ para $x \neq 0$, entonces el origen es asintóticamente estable.
  • Si $V(x) > 0$ y $\dot{V}(x) > 0$ para $x \neq 0$, el origen es inestable (teorema de Chetaev).
$$ V(0) = 0,\quad V(x) > 0\;(x \neq 0),\quad \dot{V}(x) \leq 0 \;\Longrightarrow\; \text{estabilidad}. $$

La función $V$ actúa como una función de energía generalizada. La condición $\dot{V} \leq 0$ significa que la energía no aumenta; $\dot{V} < 0$ significa que la energía se disipa estrictamente. El arte del método reside en construir una $V$ adecuada para cada sistema.

7. Aplicación a Sistemas Hamiltonianos

Un sistema hamiltoniano autónomo de $n$ grados de libertad está gobernado por las ecuaciones

$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad i = 1,\dots,n, $$

donde $H(q,p)$ es la función hamiltoniana (energía total del sistema). Una propiedad fundamental es la conservación de la energía: la derivada temporal de $H$ a lo largo de las soluciones es idénticamente nula:

$$ \dot{H} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right) = 0. $$

Esta propiedad convierte a $H$ en una candidata natural a función de Lyapunov. El principio de Dirichlet-Lagrange establece que un punto crítico de $H$ donde la matriz hessiana es definida positiva corresponde a un equilibrio estable:

Teorema de Lagrange-Dirichlet

Si $(q^*, p^*)$ es un punto de equilibrio de un sistema hamiltoniano autónomo y la función hamiltoniana $H$ tiene un mínimo local estricto en $(q^*, p^*)$, entonces el equilibrio es estable en el sentido de Lyapunov.

Demostración: Tomamos $V(q,p) = H(q,p) - H(q^*,p^*)$, que es definida positiva en un entorno del equilibrio y satisface $\dot{V} = 0$. El primer teorema de Lyapunov implica estabilidad.

Ejemplo físico: El péndulo simple con hamiltoniano $H = p^2/(2m\ell^2) - mg\ell\cos\theta$ tiene un mínimo estricto en $\theta = 0$, $p = 0$ (péndulo en reposo en la posición inferior). Por el teorema de Lagrange-Dirichlet, este equilibrio es estable. En cambio, el punto $\theta = \pi$ (péndulo invertido) corresponde a un máximo de $H$ y es inestable.

Para sistemas no conservativos donde la energía se disipa (por ejemplo, un oscilador con amortiguamiento), el hamiltoniano deja de conservarse pero una función de Lyapunov adecuada —como la energía mecánica— permite probar la estabilidad asintótica del equilibrio.

Cuestionario

1. La condición de Lipschitz sobre $f(t,y)$ garantiza:

Que $f$ es diferenciable respecto de $y$
Existencia y unicidad local de la solución del PVI
Existencia global para todo $t \in \mathbb{R}$
Que la ecuación es lineal

2. En las iteraciones de Picard, la aproximación inicial $\varphi_0(t)$ se toma usualmente como:

La función $f(t, y)$ evaluada en $t_0$
La función idénticamente nula
La función constante $y_0$
La recta tangente en $(t_0, y_0)$

3. El intervalo maximal de existencia de una solución puede ser finito debido a:

Que $f$ no es continua
Blow-up de la solución o abandono del dominio de $f$
Que el PVI no tiene solución
Que la solución es constante

4. La desigualdad de Gronwall se utiliza principalmente para demostrar:

La existencia de soluciones
La unicidad de la solución
La dependencia continua respecto de las condiciones iniciales
La convergencia de las iteraciones de Picard

5. Un problema de valor inicial es bien puesto (well-posed) si satisface:

Existencia de solución únicamente
Existencia y unicidad únicamente
Existencia, unicidad y dependencia continua de los datos
Estabilidad asintótica del equilibrio

6. Un punto de equilibrio es estable en el sentido de Lyapunov si:

Todas las soluciones convergen al equilibrio cuando $t \to \infty$
Soluciones que parten cerca del equilibrio permanecen cerca para todo $t \geq 0$
El jacobiano tiene todos sus autovalores con parte real negativa
Existe una función de Lyapunov definida negativa

7. Para probar estabilidad asintótica mediante el método directo, la función de Lyapunov debe cumplir:

$V(x) > 0$ y $\dot{V}(x) > 0$
$V(x) > 0$ y $\dot{V}(x) < 0$ para $x \neq 0$
$V(x) < 0$ y $\dot{V}(x) > 0$
$V(x) > 0$ y $\dot{V}(x) = 0$

8. En un sistema hamiltoniano, un mínimo local estricto del hamiltoniano $H$ corresponde a:

Un punto de equilibrio inestable
Un equilibrio estable en el sentido de Lyapunov
Una trayectoria periódica o ciclo límite
Un punto de ensilladura

9. La condición de Lipschitz $|f(t,y_1) - f(t,y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$ implica que $f$ es:

Más fuerte que continuidad pero más débil que diferenciabilidad
Equivalente a la continuidad uniforme
Más fuerte que la diferenciabilidad
Independiente de la continuidad

10. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza existencia y unicidad:

Globalmente, para todo $t \in \mathbb{R}$
Solamente en el punto inicial $t = t_0$
En un intervalo que contiene a $t_0$ (existencia local)
Únicamente para ecuaciones lineales