Capítulo 9 — Introducción a Ecuaciones en Derivadas Parciales

Clasificación, separación de variables y aplicaciones clásicas de las EDPs
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Clasificación de EDPs

Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una ecuación que involucra una función desconocida de dos o más variables independientes y sus derivadas parciales. A diferencia de las EDOs, donde la solución es una familia de curvas, la solución de una EDP es una familia de superficies (o hipersuperficies) dependiente de funciones arbitrarias, no de constantes.

La clasificación de las EDPs de segundo orden lineales en dos variables $x$ e $y$ se basa en el signo del discriminante de la forma general:

$$A\,u_{xx} + 2B\,u_{xy} + C\,u_{yy} + D\,u_x + E\,u_y + F\,u = G$$

El discriminante $\Delta = B^2 - AC$ determina el tipo:

Clasificación por el discriminante

  • Elíptica ($\Delta \lt 0$): Ecuaciones de Laplace $\nabla^2 u = 0$ y Poisson $\nabla^2 u = f$. Describen fenómenos de equilibrio estacionario (potencial electrostático, temperatura en régimen estacionario, flujo potencial).
  • Parabólica ($\Delta = 0$): Ecuación del calor $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$. Describe procesos de difusión irreversibles (conducción de calor, difusión de partículas, modelos financieros de Black-Scholes).
  • Hiperbólica ($\Delta \gt 0$): Ecuación de onda $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$. Describe fenómenos de propagación con velocidad finita (ondas acústicas, electromagnéticas, vibraciones en sólidos).

Esta clasificación no es meramente formal: cada tipo admite condiciones de contorno adecuadas que garantizan problemas bien planteados en el sentido de Hadamard (existencia, unicidad y dependencia continua de los datos).

$$\begin{aligned} \text{Elíptica (Laplace):}&\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\\[6pt] \text{Parabólica (Calor):}&\quad \frac{\partial u}{\partial t} - \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0,\\[6pt] \text{Hiperbólica (Onda):}&\quad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0. \end{aligned}$$

2. Separación de Variables

El método de separación de variables (o método de Fourier) es la técnica más elemental y poderosa para resolver EDPs lineales con condiciones de contorno homogéneas. La idea central es suponer que la solución se factoriza como producto de funciones, cada una dependiente de una sola variable:

$$u(x,t) = X(x)\,T(t)$$

Al sustituir esta forma en la EDP, se obtiene una ecuación en la que cada miembro depende de una variable distinta. Para que la igualdad se mantenga para todo $x$ y $t$, cada miembro debe ser igual a una misma constante de separación, típicamente denotada $-\lambda$ o $k^2$:

$$\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T'(t)}{\alpha\,T(t)} = -\lambda \;\Longrightarrow\; \begin{cases} X''(x) + \lambda X(x) = 0,\\ T'(t) + \alpha\lambda T(t) = 0. \end{cases}$$

El problema se reduce entonces a resolver dos EDOs desacopladas. Las condiciones de contorno homogéneas sobre $u$ se traducen en condiciones sobre $X(x)$, lo que da lugar a un problema de Sturm-Liouville que determina los valores propios $\lambda_n$ y las autofunciones $X_n(x)$.

Heurística del método

El paso crucial —igualar ambos miembros a una constante— se justifica por el hecho de que una función de $x$ y una función de $t$ solo pueden ser iguales para todo $(x,t)$ si ambas son iguales a la misma constante. Esta idea, aparentemente simple, es la base de toda la teoría espectral de operadores diferenciales.

La solución general se construye por el principio de superposición (válido por linealidad) como una serie infinita de los modos normales:

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\, X_n(x)\, T_n(t)$$

Los coeficientes $c_n$ se determinan a partir de la condición inicial utilizando la ortogonalidad de las autofunciones $\{X_n(x)\}$, lo que conduce naturalmente al desarrollo en series de Fourier.

3. Ecuación del Calor

La ecuación del calor (o de difusión) en una dimensión espacial es el prototipo de EDP parabólica:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \qquad \alpha \gt 0$$

Aquí $u(x,t)$ representa la temperatura en la posición $x$ al tiempo $t$, y $\alpha$ es la difusividad térmica del material ($\alpha = k/(\rho c_p)$, donde $k$ es la conductividad térmica, $\rho$ la densidad y $c_p$ el calor específico).

Consideremos una varilla de longitud $L$ con extremos mantenidos a temperatura cero:

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & 0 \lt x \lt L,\; t \gt 0,\\[6pt] u(0,t) = 0,\quad u(L,t) = 0, & t \geq 0,\\[4pt] u(x,0) = f(x), & 0 \leq x \leq L. \end{cases}$$

Separando variables $u(x,t) = X(x)T(t)$ se obtiene el problema de Sturm-Liouville $X'' + \lambda X = 0$ con $X(0) = X(L) = 0$. Los valores propios son $\lambda_n = (n\pi/L)^2$ y las autofunciones $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$, con $n = 1, 2, 3, \dots$

Solución por series de Fourier

La solución completa se expresa como:

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\, e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}\, \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

donde los coeficientes $b_n$ son los coeficientes de Fourier en senos de la condición inicial $f(x)$:

$$b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$$

Físicamente, la solución muestra que los modos espaciales más altos (mayor $n$) decaen exponencialmente más rápido: el calor se suaviza con el tiempo, borrando los detalles finos de la distribución inicial. La ecuación del calor es irreversible: si $t \to -t$, el factor $e^{-\alpha\lambda t}$ diverge para $\lambda \gt 0$, lo que refleja la Segunda Ley de la Termodinámica.

$$\lim_{t\to\infty} u(x,t) = 0 \quad\text{(temperatura de equilibrio)}$$

4. Ecuación de Onda

La ecuación de onda unidimensional es la EDP hiperbólica por excelencia y gobierna las vibraciones transversales de una cuerda tensa, las ondas acústicas en un tubo y las ondas electromagnéticas en una dimensión:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

donde $c$ es la velocidad de propagación de la onda (para una cuerda de tensión $T$ y densidad lineal $\mu$, $c = \sqrt{T/\mu}$).

Solución de d'Alembert

Mediante el cambio de variables $\xi = x + ct$, $\eta = x - ct$, la ecuación se transforma en $u_{\xi\eta} = 0$, cuya solución general es:

$$u(x,t) = F(x + ct) + G(x - ct)$$

Esta es la célebre solución de d'Alembert: toda solución es la superposición de dos ondas viajeras, una hacia la izquierda ($F$) y otra hacia la derecha ($G$), ambas sin distorsión y con velocidad $c$. Este comportamiento contrasta radicalmente con la ecuación del calor, donde las perturbaciones se propagan instantáneamente (velocidad infinita).

Ondas estacionarias

Para una cuerda de longitud $L$ fija en ambos extremos ($u(0,t) = u(L,t) = 0$), la separación de variables produce modos normales:

$$u_n(x,t) = \left[A_n\cos\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right) + B_n\sin\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right)\right] \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

Las frecuencias propias son $\omega_n = n\pi c/L$, formando la serie armónica. La superposición de estos modos genera la vibración completa de la cuerda, y es el fundamento físico de los instrumentos musicales de cuerda.

En contraste con la ecuación del calor, la ecuación de onda es reversible en el tiempo: si $u(x,t)$ es solución, $u(x,-t)$ también lo es (para condiciones iniciales apropiadas). Esta reversibilidad refleja la conservación de la energía del sistema.

5. Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace es la EDP elíptica fundamental y aparece en todos los problemas de equilibrio estático:

$$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$

Las funciones que satisfacen $\nabla^2 u = 0$ se denominan funciones armónicas y poseen propiedades notables: son infinitamente diferenciables, satisfacen el principio del máximo (toman sus valores extremos en la frontera del dominio), y su valor en cualquier punto es el promedio de sus valores sobre cualquier esfera centrada en ese punto (propiedad de la media).

Problemas de contorno

  • Problema de Dirichlet: Se prescribe $u$ sobre toda la frontera $\partial\Omega$. Ejemplo clásico: potencial electrostático en una región sin carga, con el potencial fijado en las paredes conductoras.
  • Problema de Neumann: Se prescribe la derivada normal $\partial u/\partial n$ sobre la frontera. Aparece en problemas de flujo estacionario donde se conoce el flujo entrante/saliente. La condición de compatibilidad exige $\oint_{\partial\Omega} (\partial u/\partial n)\,dS = 0$.
  • Problema mixto (Robin): Se prescribe una combinación lineal de $u$ y $\partial u/\partial n$ sobre la frontera, común en problemas de transferencia de calor convectiva.

La ecuación de Poisson $\nabla^2 u = f(x)$ es la versión no homogénea y describe, por ejemplo, el potencial electrostático en presencia de una densidad de carga $\rho$: $\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0$. Su solución puede construirse usando la función de Green asociada al operador laplaciano con las condiciones de contorno dadas.

6. Series de Fourier

Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática central para resolver EDPs por separación de variables. La idea —propuesta por Joseph Fourier en 1807 en su memoria sobre la propagación del calor— es representar una función $f(x)$ definida en $[-L, L]$ como superposición de senos y cosenos:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]$$

La clave del método reside en las relaciones de ortogonalidad de las funciones trigonométricas sobre el intervalo $[-L, L]$:

$$\begin{aligned} \int_{-L}^{L} \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= L\,\delta_{nm} \quad (n,m \geq 1),\\[4pt] \int_{-L}^{L} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= L\,\delta_{nm} \quad (n,m \geq 1),\\[4pt] \int_{-L}^{L} \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right) dx &= 0 \quad (\text{para todo } n,m). \end{aligned}$$

Gracias a la ortogonalidad, los coeficientes de Fourier se obtienen proyectando $f$ sobre cada función base:

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx, \quad n = 0,1,2,\dots\\[4pt] b_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx, \quad n = 1,2,3,\dots \end{aligned}$$

Convergencia de series de Fourier

El Teorema de Dirichlet establece condiciones suficientes para la convergencia puntual: si $f$ es periódica, continua a trozos y tiene derivada continua a trozos en $[-L,L]$, entonces la serie de Fourier converge a $f(x)$ en los puntos de continuidad y al promedio $[f(x^+) + f(x^-)]/2$ en las discontinuidades de salto (fenómeno de Gibbs: las sumas parciales presentan sobreoscilaciones de aproximadamente 9% cerca de las discontinuidades).

Desde la perspectiva moderna del Análisis Funcional, las funciones $\{\cos(n\pi x/L), \sin(n\pi x/L)\}$ forman una base ortogonal completa del espacio de Hilbert $L^2([-L,L])$. La serie de Fourier no es más que la expansión de un vector en dicha base, y los coeficientes de Fourier son las coordenadas del vector en esa base. Esta visión unificada —que conecta EDPs, álgebra lineal y mecánica cuántica— será explorada en profundidad en el Capítulo 10.

Cuestionario

1. Una EDP de segundo orden $A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} + \cdots = 0$ se clasifica como elíptica cuando:

2. ¿Cuál de las siguientes es una EDP parabólica?

3. En el método de separación de variables, la solución se postula en la forma:

4. ¿Qué tipo de condiciones de contorno garantizan que el problema de contorno para la ecuación del calor tenga solución única?

5. La solución de d'Alembert de la ecuación de onda $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ es:

6. ¿Qué ecuación gobierna el potencial electrostático en una región sin carga?

7. Los coeficientes de Fourier de $f(x)$ en $[-L, L]$ se obtienen gracias a:

8. ¿Cuál es el comportamiento asintótico ($t \to \infty$) de la solución de la ecuación del calor en una varilla con extremos a temperatura cero?

9. En el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace se prescribe:

10. ¿Por qué la ecuación del calor es irreversible en el tiempo?