Capítulo 6 — Transformada de Laplace

Del dominio temporal al dominio complejo: una herramienta integral para EDOs y sistemas lineales
Prof. Mariano Miguel Lanzi

6.1 — Definición de la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un operador integral que convierte una función del tiempo $f(t)$, definida para $t \ge 0$, en una función $F(s)$ de variable compleja $s = \sigma + i\omega$. Su definición formal es:

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt, \qquad s \in \mathbb{C}$$

La integral impropia converge únicamente para valores de $s$ con parte real suficientemente grande. La región de convergencia (ROC) es el semiplano $\operatorname{Re}(s) > \sigma_c$, donde $\sigma_c$ —la abscisa de convergencia— depende de la tasa de crecimiento de $f(t)$. Si $|f(t)| \le M e^{\alpha t}$ para algún $M, \alpha \in \mathbb{R}$, entonces la integral converge absolutamente para $\operatorname{Re}(s) > \alpha$.

Condiciones suficientes de existencia

Una función $f(t)$ admite transformada de Laplace si: (i) es continua a trozos en $[0, \infty)$, (ii) es de orden exponencial, es decir, existen constantes $M > 0$ y $\alpha \in \mathbb{R}$ tales que $|f(t)| \le M e^{\alpha t}$ para $t$ suficientemente grande. Estas condiciones son satisfechas por la práctica totalidad de las funciones que aparecen en física e ingeniería.

La transformada de Laplace es una generalización continua de las series de potencias: el núcleo $e^{-st}$ actúa como un factor de amortiguamiento que domestica funciones que de otro modo no serían integrables. Heurísticamente, reemplaza el índice discreto $n$ de una serie de potencias $\sum a_n z^n$ por el parámetro continuo $t$, y la suma por una integral.

6.2 — Propiedades Fundamentales

La potencia de la transformada de Laplace reside en que convierte operaciones de análisis (derivación, integración) en operaciones algebraicas. Las propiedades esenciales son:

Linealidad

$$\mathcal{L}\{\alpha f(t) + \beta g(t)\} = \alpha F(s) + \beta G(s)$$

Derivación

Esta es la propiedad clave para resolver ecuaciones diferenciales: la derivada en el dominio temporal se traduce en multiplicación por $s$ en el dominio de Laplace, incorporando las condiciones iniciales de manera natural.

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)$$

Para derivadas superiores se aplica iterativamente:

$$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$$

Traslación en $s$ (amortiguamiento exponencial)

$$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$$

Traslación en $t$ (retardo temporal)

$$\mathcal{L}\{f(t - c)\,u_c(t)\} = e^{-cs} F(s), \qquad c \ge 0$$

Escalamiento

$$\mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a} F\!\left(\frac{s}{a}\right), \qquad a > 0$$

La derivación transforma EDOs en ecuaciones algebraicas

Una EDO lineal de orden $n$ con coeficientes constantes, $a_n y^{(n)} + \dots + a_0 y = g(t)$, se convierte —aplicando $\mathcal{L}$— en una ecuación algebraica en $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$ que incluye las condiciones iniciales $y(0), y'(0), \dots, y^{(n-1)}(0)$. Esto evita resolver primero la homogénea y luego la particular: la solución completa se obtiene en un solo paso tras invertir $Y(s)$.

6.3 — Transformada de Funciones Elementales

Las transformadas de Laplace de las funciones básicas forman un catálogo indispensable que, combinado con las propiedades de la sección anterior, permite calcular la transformada de funciones más complejas sin necesidad de integrar cada vez.

$f(t)$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$ROC
$1$$\dfrac{1}{s}$$\operatorname{Re}(s) > 0$
$t^n,\; n \in \mathbb{N}$$\dfrac{n!}{s^{\,n+1}}$$\operatorname{Re}(s) > 0$
$e^{at}$$\dfrac{1}{s - a}$$\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)$
$\sin(\omega t)$$\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$\operatorname{Re}(s) > 0$
$\cos(\omega t)$$\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$$\operatorname{Re}(s) > 0$
$\sinh(\omega t)$$\dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2}$$\operatorname{Re}(s) > |\operatorname{Re}(\omega)|$
$\cosh(\omega t)$$\dfrac{s}{s^2 - \omega^2}$$\operatorname{Re}(s) > |\operatorname{Re}(\omega)|$
$e^{at} \sin(\omega t)$$\dfrac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}$$\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)$
$e^{at} \cos(\omega t)$$\dfrac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2}$$\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)$

Derivación de la transformada de $t^n$

La función gamma de Euler generaliza el factorial: $\Gamma(n+1) = n!$. Para exponentes no enteros, $\mathcal{L}\{t^\alpha\} = \Gamma(\alpha+1) / s^{\alpha+1}$ con $\operatorname{Re}(\alpha) > -1$. Este resultado se obtiene del cambio de variable $u = st$ y la definición integral de $\Gamma$.

6.4 — Transformada Inversa y Fracciones Parciales

La transformada inversa de Laplace recupera $f(t)$ a partir de $F(s)$. Formalmente, está dada por la integral de Bromwich (o fórmula de inversión de Mellin):

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \lim_{R \to \infty} \int_{\gamma - iR}^{\gamma + iR} e^{st} F(s)\,ds$$

donde $\gamma$ debe ser mayor que la abscisa de convergencia. En la práctica —y para el vasto repertorio de aplicaciones en EDOs— rara vez se evalúa esta integral de contorno. El camino estándar es:

  1. Expresar $F(s)$ como función racional $F(s) = P(s) / Q(s)$, con $\deg P < \deg Q$.
  2. Descomponer en fracciones parciales según la naturaleza de las raíces de $Q(s)$.
  3. Identificar cada término con una entrada de la tabla de transformadas.

Tipos de factores en el denominador

Factor lineal simple $(s - a)$:

$$\frac{A}{s - a} \;\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}\; A e^{at}$$

Factor lineal repetido $(s - a)^k$:

$$\frac{A}{(s - a)^k} \;\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}\; \frac{A}{(k-1)!}\, t^{\,k-1} e^{at}$$

Factor cuadrático irreducible $(s - a)^2 + \omega^2$:

$$\frac{A(s - a) + B\omega}{(s - a)^2 + \omega^2} \;\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}\; e^{at}\big(A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\big)$$

Unicidad de la transformada inversa

Si $f$ y $g$ son continuas en $[0, \infty)$ y $\mathcal{L}\{f\} = \mathcal{L}\{g\}$ para $\operatorname{Re}(s)$ suficientemente grande, entonces $f(t) = g(t)$ para todo $t \ge 0$ (teorema de Lerch). Esta unicidad justifica el uso de tablas sin ambigüedad.

6.5 — Convolución y Teorema de Convolución

La convolución de dos funciones $f$ y $g$ definidas en $[0, \infty)$ es una operación que mide la superposición de una función al deslizarse sobre la otra:

$$(f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$$

La convolución es conmutativa ($f * g = g * f$), asociativa y distributiva respecto de la suma. Su relevancia en el contexto de la transformada de Laplace se condensa en el teorema de convolución:

$$\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s)\,G(s)$$

Equivalentemente, la transformada inversa de un producto es la convolución de las transformadas inversas:

$$\mathcal{L}^{-1}\{F(s) G(s)\} = (f * g)(t)$$

Aplicación: respuesta a una excitación arbitraria

En sistemas lineales invariantes en el tiempo, la respuesta $y(t)$ a una entrada $x(t)$ se obtiene convolucionando la entrada con la respuesta al impulso $h(t)$: $y(t) = (h * x)(t)$. En el dominio de Laplace, $Y(s) = H(s) X(s)$, donde $H(s)$ es la función de transferencia. Esta factorización reduce un problema de ecuaciones diferenciales a simple álgebra.

Interpretación física

La convolución captura la memoria del sistema: el valor de la salida en el instante $t$ depende de la excitación en todos los instantes anteriores, ponderados por la respuesta al impulso. En sistemas causales ($h(\tau) = 0$ para $\tau < 0$), el límite superior $t$ de la integral de convolución expresa precisamente esta dependencia del pasado.

6.6 — Función Escalón Unitario y Delta de Dirac

Función escalón unitario (Heaviside)

La función escalón unitario $u_c(t)$ —o función de Heaviside— modela excitaciones que se activan súbitamente en un instante $c \ge 0$:

$$u_c(t) = \begin{cases} 0, & t < c \\ 1, & t \ge c \end{cases}$$

Su transformada de Laplace es sencilla:

$$\mathcal{L}\{u_c(t)\} = \frac{e^{-cs}}{s}$$

Combinada con la propiedad de traslación temporal, permite manejar funciones definidas a trozos y excitaciones que se encienden o apagan en tiempos arbitrarios. Por ejemplo, un pulso rectangular de duración $T$ se escribe como $u_0(t) - u_T(t)$.

Delta de Dirac

La delta de Dirac $\delta(t)$ no es una función en el sentido clásico sino una distribución (o función generalizada). Puede concebirse como el límite de una sucesión de pulsos cada vez más altos y estrechos que encierran área unitaria. Su propiedad definitoria es:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t - a)\,dt = f(a)$$

Físicamente, $\delta(t - a)$ representa un impulso instantáneo de magnitud unidad aplicado en $t = a$: un martillazo, una descarga eléctrica puntual, o una fuerza impulsiva de duración infinitesimal. Su transformada es notablemente simple:

$$\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1, \qquad \mathcal{L}\{\delta(t - c)\} = e^{-cs}, \quad c \ge 0$$

La unidad de la transformada de $\delta(t)$ refleja que el impulso contiene energía uniformemente distribuida en todas las frecuencias —un espectro plano—, en analogía con la luz blanca en óptica.

Precaución matemática

La delta de Dirac no es una función en el sentido de Lebesgue. Su tratamiento riguroso pertenece a la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz (1945). En el contexto de la transformada de Laplace, se utiliza formalmente bajo la convención $\int_{0^-}^{\infty} \delta(t) f(t)\,dt = f(0)$, capturando condiciones iniciales que surgen de impulsos aplicados en $t = 0$.

6.7 — Aplicación a EDOs y Sistemas

La estrategia general para resolver un problema de valor inicial (IVP) mediante la transformada de Laplace consta de tres pasos:

  1. Transformar la EDO: Aplicar $\mathcal{L}$ a ambos miembros, utilizando la propiedad de derivación para incorporar las condiciones iniciales.
  2. Resolver para $Y(s)$: Despejar algebraicamente la transformada de la incógnita, obteniendo $Y(s) = \text{función racional de } s$.
  3. Invertir: Recuperar $y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}$ mediante fracciones parciales y tablas.

Ejemplo: oscilador armónico forzado

Consideremos el IVP $\ddot{y} + \omega_0^2 y = F_0 \sin(\omega t)$, con $y(0) = y_0$, $\dot{y}(0) = v_0$. Aplicando la transformada:

$$(s^2 Y(s) - s y_0 - v_0) + \omega_0^2 Y(s) = F_0 \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$

Despejando $Y(s)$ y descomponiendo en fracciones parciales se obtienen las contribuciones de la solución homogénea (régimen transitorio, que depende de las condiciones iniciales) y la solución particular (régimen estacionario forzado). El método revela naturalmente el fenómeno de resonancia cuando $\omega \to \omega_0$: la amplitud del término particular crece linealmente con $t$.

Función de transferencia

Para un sistema lineal regido por $a_n y^{(n)} + \cdots + a_0 y = b_m x^{(m)} + \cdots + b_0 x$ con condiciones iniciales nulas, la función de transferencia es el cociente:

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_1 s + a_0}$$

$H(s)$ caracteriza completamente la dinámica del sistema: sus polos (raíces del denominador) determinan la estabilidad y el carácter de la respuesta transitoria; sus ceros (raíces del numerador) controlan la forma de la respuesta forzada. La respuesta en frecuencia se obtiene evaluando $H(i\omega)$, separando módulo (ganancia) y fase.

Ventajas del método de Laplace

  • Las condiciones iniciales se incorporan automáticamente desde el primer paso.
  • Maneja sin dificultad excitaciones discontinuas (escalones, pulsos, impulsos) mediante $u_c(t)$ y $\delta(t)$.
  • La convolución permite obtener la respuesta a cualquier entrada una vez conocida la función de transferencia.
  • Es la base matemática de la teoría de control clásico: diagramas de Bode, criterio de Nyquist, lugar de raíces.

Conexión con la transformada de Fourier

Para funciones causales ($f(t) = 0$ para $t < 0$) y con $s = i\omega$ sobre el eje imaginario, la transformada de Laplace se reduce a la de Fourier: $\mathcal{L}\{f\}(i\omega) = \mathcal{F}\{f\}(\omega)$, siempre que la ROC contenga al eje imaginario. Esta conexión unifica el tratamiento de señales y sistemas lineales en ingeniería eléctrica, procesamiento de señales y mecánica.

Cuestionario

1. La transformada de Laplace de una función $f(t)$ se define como:

2. La propiedad de derivación de la transformada de Laplace establece que $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ es:

3. La transformada de Laplace de $e^{at}$, para $\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)$, es:

4. Para obtener la transformada inversa de Laplace de una función racional $F(s) = P(s)/Q(s)$, el método estándar es:

5. El teorema de convolución para la transformada de Laplace establece que:

6. La función escalón unitario de Heaviside $u_c(t)$ se define como:

7. La transformada de Laplace de la delta de Dirac $\delta(t)$ es:

8. La transformada de Laplace de $t^n$ para $n \in \mathbb{N}$ es:

9. La transformada de Laplace de $\sin(\omega t)$ es:

10. La función de transferencia $H(s)$ de un sistema lineal invariante en el tiempo se define como: