Capítulo 10 — Mecánica Cuántica y Conexión con Hilbert

Cuantización, ecuación de Schrödinger y la estructura de espacio de Hilbert
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Cuantización Canónica

El puente entre la mecánica clásica y la cuántica se construye mediante el procedimiento de cuantización canónica. En la formulación hamiltoniana clásica, el estado de un sistema está descrito por coordenadas generalizadas $q_i$ y momentos conjugados $p_i$, y la evolución temporal está gobernada por los corchetes de Poisson:

$$\{f, g\} = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$$

La cuantización canónica prescribe reemplazar las variables dinámicas por operadores lineales actuando sobre un espacio de Hilbert, y los corchetes de Poisson por el conmutador cuántico:

$$\{f, g\} \;\longrightarrow\; \frac{1}{i\hbar}\,[\hat{f}, \hat{g}]$$

En particular, para las variables canónicas fundamentales se obtienen las relaciones de conmutación canónicas (CCR por sus siglas en inglés):

$$[\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij},\qquad [\hat{q}_i, \hat{q}_j] = 0,\qquad [\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0$$

Regla de correspondencia de Dirac

Paul Dirac formuló la cuantización como una deformación del álgebra de Poisson: el conmutador dividido por $i\hbar$ reemplaza al corchete de Poisson. En el límite clásico $\hbar \to 0$, el conmutador se anula, la no-conmutatividad desaparece y se recupera la mecánica clásica. Las relaciones $[q,p]=i\hbar$ implican directamente el principio de incertidumbre de Heisenberg: $\Delta q\, \Delta p \geq \hbar/2$.

El hamiltoniano clásico $H(q,p)$ se convierte en el operador hamiltoniano $\hat{H}$ sustituyendo $q \to \hat{q}$ (multiplicación por $x$) y $p \to \hat{p} = -i\hbar\, d/dx$ (en la representación de posiciones). Esta prescripción, aunque no exenta de ambigüedades (problema de ordenamiento de operadores), constituye el punto de partida de la teoría cuántica.

2. Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es la ley fundamental de evolución en mecánica cuántica. Postula que el estado de un sistema, representado por la función de onda $\psi(\mathbf{r}, t)$, evoluciona según:

$$i\hbar\,\frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$$

donde $\hat{H}$ es el operador hamiltoniano del sistema. Para una partícula de masa $m$ sometida a un potencial $V(\mathbf{r})$, el hamiltoniano en la representación de posiciones es:

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) + V(x,y,z)$$

La ecuación de Schrödinger es una EDP lineal de primer orden en el tiempo y de segundo orden en las coordenadas espaciales. Su clasificación como EDP es intermedia: es una ecuación de tipo Schrödinger (similar a una ecuación del calor con coeficiente imaginario), lo que le confiere propiedades tanto ondulatorias como difusivas.

Propiedades fundamentales

  • Linealidad: Si $\psi_1$ y $\psi_2$ son soluciones, $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ también lo es. Esto subyace al principio de superposición cuántica.
  • Unitariedad: El operador de evolución temporal $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$ es unitario, garantizando la conservación de la probabilidad: $\frac{d}{dt}\int |\psi|^2 d^3r = 0$.
  • Reversibilidad: A diferencia de la ecuación del calor, la ecuación de Schrödinger es reversible: $\psi(\mathbf{r}, -t)$ es solución si $\psi^*(\mathbf{r}, t)$ lo es (simetría CPT).

La presencia explícita de la unidad imaginaria $i$ es esencial: convierte lo que sería una ecuación de difusión irreversible en una ecuación de propagación ondulatoria reversible. Esta es la razón matemática por la que la función de onda es necesariamente compleja.

3. Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo

Cuando el hamiltoniano $\hat{H}$ no depende explícitamente del tiempo, la ecuación de Schrödinger admite soluciones separables de la forma $\psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r})\,T(t)$. Sustituyendo se obtiene:

$$i\hbar\,\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{\psi}\,\hat{H}\psi = E \quad\text{(constante)}$$

La parte temporal se integra inmediatamente: $T(t) = e^{-iEt/\hbar}$. La parte espacial conduce a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$$\hat{H}\psi = E\psi \qquad\Longleftrightarrow\qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V(\mathbf{r})\psi = E\psi$$

Esta es una ecuación de autovalores (eigenvalue equation): las energías permitidas $E_n$ son los autovalores del operador hamiltoniano, y las funciones de onda $\psi_n$ son las autofunciones correspondientes. Matemáticamente, es un problema de Sturm-Liouville.

Estados estacionarios

Las soluciones de la forma $\Psi_n(\mathbf{r}, t) = \psi_n(\mathbf{r})\,e^{-iE_n t/\hbar}$ se denominan estados estacionarios. En ellos, la densidad de probabilidad $|\Psi_n|^2 = |\psi_n|^2$ es independiente del tiempo, y toda cantidad observable (valor esperado de cualquier operador que no dependa explícitamente del tiempo) permanece constante. Son los análogos cuánticos de las órbitas estables clásicas.

El problema de hallar los autovalores y autofunciones de $\hat{H}$ es central en mecánica cuántica. Dependiendo del potencial $V(\mathbf{r})$, el espectro puede ser discreto (estados ligados, como en átomos), continuo (estados de scattering, como partículas libres), o mixto.

4. Oscilador Armónico Cuántico

El oscilador armónico cuántico es uno de los pocos sistemas exactamente solubles en mecánica cuántica y constituye el paradigma de sistema con espectro discreto. El hamiltoniano en una dimensión es:

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo $\hat{H}\psi = E\psi$ se resuelve introduciendo las variables adimensionales $\xi = \sqrt{m\omega/\hbar}\,x$ y $\varepsilon = 2E/(\hbar\omega)$. La ecuación se transforma en:

$$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + (\varepsilon - \xi^2)\psi = 0$$

Para $\xi \to \pm\infty$, el comportamiento asintótico $\psi \sim e^{-\xi^2/2}$ sugiere la factorización $\psi(\xi) = H(\xi)\,e^{-\xi^2/2}$. Sustituyendo se obtiene la ecuación diferencial de Hermite:

$$H''(\xi) - 2\xi H'(\xi) + (\varepsilon - 1)H(\xi) = 0$$

La condición de que $\psi$ sea normalizable ($\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2\,dx = 1$) obliga a truncar la serie de potencias: $\varepsilon - 1 = 2n$ con $n = 0, 1, 2, \dots$. Esto produce los célebres autovalores de energía:

$$E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

Las autofunciones normalizadas son:

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} H_n\!\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x\right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$$

Energía de punto cero

El estado fundamental ($n = 0$) tiene energía $E_0 = \hbar\omega/2$, estrictamente mayor que el mínimo del potencial clásico $V_{\min} = 0$. Esta energía de punto cero es una consecuencia directa del principio de incertidumbre: una partícula perfectamente localizada en el fondo del pozo tendría $\Delta x = 0$ y, por tanto, $\Delta p \to \infty$, lo que implica una energía cinética infinita. El estado fundamental representa el compromiso óptimo entre localización y energía cinética.

Los polinomios de Hermite $H_n(\xi)$ satisfacen la relación de ortogonalidad:

$$\int_{-\infty}^{\infty} H_n(\xi)\,H_m(\xi)\,e^{-\xi^2}\,d\xi = \sqrt{\pi}\,2^n n!\,\delta_{nm}$$

Esta propiedad refleja que las autofunciones $\psi_n(x)$ forman una base ortonormal del espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$. Todo estado del oscilador puede expandirse como $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \psi_n(x)$, en completa analogía con las series de Fourier del Capítulo 9.

5. Notación de Dirac y Espacios de Hilbert

La notación bra-ket, introducida por Paul Dirac, es el lenguaje universal de la mecánica cuántica y revela de forma transparente la estructura de espacio de Hilbert subyacente:

  • Un ket $|\psi\rangle$ representa un vector de estado en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$.
  • Un bra $\langle\psi|$ es el funcional lineal dual (covector) asociado mediante el producto interno.
  • El bracket $\langle\phi|\psi\rangle$ denota el producto interno (hermítico) entre dos estados.

Axiomas de un espacio de Hilbert cuántico

  1. $\mathcal{H}$ es un espacio vectorial complejo con producto interno $\langle\cdot|\cdot\rangle$.
  2. El producto interno es hermítico: $\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$.
  3. Es lineal en el segundo argumento: $\langle\phi|\alpha\psi_1 + \beta\psi_2\rangle = \alpha\langle\phi|\psi_1\rangle + \beta\langle\phi|\psi_2\rangle$.
  4. $\langle\psi|\psi\rangle \geq 0$, con igualdad solo si $|\psi\rangle = 0$.
  5. $\mathcal{H}$ es completo: toda sucesión de Cauchy converge en $\mathcal{H}$.

La relación de completitud (o resolución de la identidad) es una de las herramientas más poderosas de la notación de Dirac. Si $\{|n\rangle\}$ es una base ortonormal de $\mathcal{H}$, entonces:

$$\sum_n |n\rangle\langle n| = \hat{I} \qquad\text{(operador identidad)}$$

Insertar la identidad permite expandir cualquier estado y calcular productos internos en una base conveniente:

$$|\psi\rangle = \sum_n |n\rangle\langle n|\psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle,\qquad \langle\phi|\psi\rangle = \sum_n \langle\phi|n\rangle\langle n|\psi\rangle$$

En la representación de posiciones, la función de onda es la proyección del estado abstracto sobre el autoestado de posición: $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$. Las autofunciones de posición satisfacen $\langle x|x'\rangle = \delta(x - x')$ y la relación de completitud $\int |x\rangle\langle x|\,dx = \hat{I}$ (en sentido distribucional).

6. Operadores como Observables

En mecánica cuántica, toda cantidad medible (observable) está representada por un operador autoadjunto (hermítico) $\hat{A}$ actuando sobre $\mathcal{H}$. La condición de hermiticidad $\hat{A} = \hat{A}^\dagger$ garantiza tres propiedades esenciales:

  1. Los autovalores son reales ($a_n \in \mathbb{R}$), como corresponde a resultados de medición.
  2. Las autofunciones correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.
  3. El conjunto de autofunciones forma una base completa de $\mathcal{H}$ (teorema espectral).

Valores esperados

El valor esperado (promedio cuántico) de un observable $\hat{A}$ en el estado $|\psi\rangle$ es:

$$\langle \hat{A} \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x)\,\hat{A}\,\psi(x)\,dx$$

La varianza (incertidumbre) es $(\Delta A)^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$. El principio de incertidumbre generalizado de Robertson-Schrödinger establece que para dos observables $\hat{A}$ y $\hat{B}$:

$$\Delta A \,\Delta B \geq \frac{1}{2}\big|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\big|$$

El espectro de un operador autoadjunto puede ser:

  • Discreto: Autovalores aislados con autofunciones normalizables (estados ligados). Ejemplo: energías del oscilador armónico $E_n = \hbar\omega(n+1/2)$.
  • Continuo: Autovalores que forman un continuo, con autofunciones no normalizables en sentido estricto sino en sentido distribucional (estados de scattering). Ejemplo: partícula libre, $\hat{H} = -\hbar^2\nabla^2/(2m)$.
  • Mixto: Combinación de ambos, como en el potencial de Coulomb (espectro discreto para $E \lt 0$, continuo para $E \gt 0$).

7. Puente con Álgebra Lineal y el Espacio de Hilbert

Este capítulo cierra el círculo que comenzó con ecuaciones diferenciales ordinarias y termina en el corazón de la física moderna, revelando la unidad profunda entre EDOs, análisis funcional y álgebra lineal. El espacio $L^2(\mathbb{R})$ —el conjunto de funciones de cuadrado integrable— es el espacio de Hilbert natural de la mecánica cuántica:

$$L^2(\mathbb{R}) = \left\{ \psi: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \;\Big|\; \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx \lt \infty \right\}$$

Este espacio comparte la misma estructura abstracta que $\mathbb{C}^n$: es un espacio vectorial con producto interno, norma, bases ortonormales y operadores lineales. La diferencia es que $L^2(\mathbb{R})$ es de dimensión infinita (separable, con base numerable).

Funciones de Hermite como base ortonormal

Las autofunciones del oscilador armónico —las funciones de Hermite— constituyen una base ortonormal completa de $L^2(\mathbb{R})$:

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/4} H_n(x)\,e^{-x^2/2}, \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

Cualquier función $\psi \in L^2(\mathbb{R})$ admite el desarrollo $\psi = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \psi_n$ con $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$. Este hecho es el análogo funcional de la expansión de un vector de $\mathbb{C}^n$ en una base ortonormal, y conecta directamente con el material del curso de Álgebra Lineal: espacios de Hilbert, bases ortonormales y teorema espectral.

La conexión con las series de Fourier (Capítulo 9) es inmediata: las funciones $\{\sin(n\pi x/L), \cos(n\pi x/L)\}$ forman una base ortogonal de $L^2([-L,L])$, exactamente igual que las funciones de Hermite forman una base de $L^2(\mathbb{R})$. En ambos casos, los coeficientes de la expansión se obtienen proyectando sobre los elementos de la base mediante el producto interno.

Desde esta perspectiva unificada, la ecuación de Schrödinger no es más que la diagonalización del operador hamiltoniano $\hat{H}$ en el espacio de Hilbert: hallar los autovalores $E_n$ y autovectores $|n\rangle$ tales que $\hat{H}|n\rangle = E_n|n\rangle$. Este es el mismo problema matemático que la diagonalización de matrices en álgebra lineal, trasladado a espacios de dimensión infinita y gobernado por el teorema espectral para operadores autoadjuntos.

En resumen, el camino recorrido —desde las EDOs elementales, pasando por sistemas hamiltonianos, EDPs, series de Fourier, hasta la mecánica cuántica— revela la profunda unidad de la física matemática: las mismas estructuras abstractas (espacios de Hilbert, operadores lineales, problemas de autovalores) subyacen tanto a la vibración de una cuerda como al comportamiento de un electrón en un átomo.

Síntesis del curso

La asignatura de Álgebra Lineal (impartida en paralelo) proporciona las herramientas abstractas —espacios vectoriales, bases, producto interno, operadores, diagonalización, teorema espectral— que aquí se materializan en el contexto concreto de las ecuaciones diferenciales y la mecánica cuántica. Esta sinergia deliberada entre ambas materias es la esencia del proyecto Hilbert: mostrar que las matemáticas no son un conjunto de técnicas inconexas, sino un edificio conceptual unificado que describe la naturaleza con precisión y belleza.

Cuestionario

1. Según la cuantización canónica, el corchete de Poisson $\{f,g\}$ se reemplaza por:

2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$. ¿Qué tipo de EDP es?

3. ¿Cuál es la forma de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

4. Los autovalores de energía del oscilador armónico cuántico son:

5. La energía del estado fundamental del oscilador armónico cuántico es:

6. En la notación de Dirac, ¿qué representa $\langle\phi|\psi\rangle$?

7. ¿Qué condición debe satisfacer un operador $\hat{A}$ para representar un observable físico?

8. La relación de completitud $\sum_n |n\rangle\langle n| = \hat{I}$ permite:

9. Las funciones de Hermite $\psi_n(x)$ forman una base ortonormal de:

10. ¿Qué análogo tiene en $L^2(\mathbb{R})$ la expansión de un vector de $\mathbb{C}^n$ en una base ortonormal?