Capítulo 1 — Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Definiciones fundamentales, clasificación y motivación física
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Definición de Ecuación Diferencial

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas. Si la función desconocida depende de una sola variable independiente, se habla de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Si depende de dos o más variables independientes aparecen derivadas parciales: se tiene una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP).

EDO vs. EDP

Una EDO contiene derivadas respecto de una única variable; por ejemplo, la posición $x(t)$ de una partícula depende solo del tiempo $t$. Una EDP involucra derivadas parciales respecto de varias variables; por ejemplo, la ecuación del calor $u_t = \alpha u_{xx}$ involucra $\partial/\partial t$ y $\partial/\partial x$.

El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de derivación que aparece en ella. El grado es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden, una vez que la ecuación ha sido escrita como polinomio en las derivadas.

$$\underbrace{\frac{d^3 y}{dx^3}}_{\text{orden }3} + x\underbrace{\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^3}_{\text{grado: no polinomial en }y'''} + xy = e^x$$

En la notación estándar, una EDO de orden $n$ se escribe de manera implícita como:

$$F\left(x,\; y,\; y',\; y'',\;\dots,\; y^{(n)}\right) = 0$$

Cuando es posible despejar la derivada de mayor orden, se obtiene la forma normal:

$$y^{(n)} = f\!\left(x,\; y,\; y',\; \dots,\; y^{(n-1)}\right)$$

2. Clasificación

Lineales vs. No lineales

Una EDO es lineal si la variable dependiente y todas sus derivadas aparecen linealmente (a lo sumo multiplicadas por funciones de la variable independiente). Su forma general de orden $n$ es:

$$a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x)$$

Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. Por ejemplo:

  • Lineal: $y'' + 3x^2 y' - 5y = \sin x$
  • No lineal: $y'' + (y')^2 + y^3 = 0$, $y y' = x$

Homogéneas vs. No homogéneas

En una EDO lineal, si $g(x) = 0$ se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario es no homogénea. Esta distinción es fundamental porque la solución general de una ecuación no homogénea se construye como $y = y_h + y_p$, donde $y_h$ es la solución de la homogénea asociada e $y_p$ es una solución particular.

Ecuación Autónoma

Una EDO es autónoma cuando la variable independiente no aparece explícitamente: $y' = f(y)$. Estas ecuaciones son frecuentes en física, ya que muchas leyes naturales no dependen explícitamente del tiempo. Ejemplo: la desintegración radiactiva $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$.

3. Soluciones Generales y Particulares

Una solución de una EDO de orden $n$ es una función $y = \phi(x)$ que, sustituida en la ecuación, satisface idénticamente la igualdad en algún intervalo $I$.

Verificación de soluciones

Para comprobar que $y(x)$ es solución, se calculan las derivadas necesarias y se sustituyen en la EDO. Por ejemplo, $y = e^{2x}$ es solución de $y'' - 4y = 0$ porque $y'' = 4e^{2x}$ y $4e^{2x} - 4e^{2x} = 0$.

La solución general de una EDO de orden $n$ contiene $n$ constantes arbitrarias de integración y representa una familia $n$-paramétrica de curvas. Una solución particular se obtiene al fijar valores concretos para esas constantes, habitualmente mediante condiciones iniciales o de contorno.

$$y' = 2x \;\Longrightarrow\; \underbrace{y = x^2 + C}_{\text{solución general}} \;\xrightarrow{y(0)=3}\; \underbrace{y = x^2 + 3}_{\text{solución particular}}$$

Desde un punto de vista geométrico, la solución general de $y' = f(x,y)$ representa una familia de curvas integrales que llenan la región del plano donde $f$ está definida. La solución particular es la curva que pasa por un punto dado $(x_0, y_0)$.

Solución singular

Algunas ecuaciones no lineales admiten soluciones singulares que no se obtienen de la solución general para ningún valor de las constantes. Por ejemplo, la ecuación de Clairaut $y = x y' + (y')^2$ tiene como solución singular $y = -x^2/4$, que es la envolvente de la familia de rectas $y = Cx + C^2$.

4. Problemas de Valor Inicial (PVI)

Un Problema de Valor Inicial (PVI, o IVP por sus siglas en inglés) consiste en resolver una EDO de orden $n$ junto con $n$ condiciones impuestas sobre la función y sus derivadas en un mismo punto $x_0$:

$$\begin{cases} y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}), \\[4pt] y(x_0) = y_0,\; y'(x_0) = y_1,\; \dots,\; y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}. \end{cases}$$

Las condiciones determinan de manera única las $n$ constantes de integración. Sin embargo, la existencia y unicidad no están garantizadas a priori: dependen de las propiedades de $f$.

Existencia y unicidad (informal): Si $f(x,y)$ es continua en un rectángulo que contiene $(x_0, y_0)$, existe al menos una solución. Si además $\partial f/\partial y$ existe y es continua (condición de Lipschitz), la solución es única. Estas ideas serán formalizadas en el Teorema de Picard-Lindelöf (Capítulo 7).

Ejemplo: PVI de primer orden

Resolver $y' = y$ con $y(0) = 1$. La solución general es $y = Ce^x$; la condición $y(0) = C = 1$ da la solución particular $y = e^x$.

5. Motivación Física

Caída libre (Segunda Ley de Newton)

La segunda ley de Newton establece que la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración: $F = m a$. En una dimensión, con $x(t)$ la posición de una partícula de masa $m$:

$$m\,\frac{d^2 x}{dt^2} = F\!\left(t, x, \frac{dx}{dt}\right)$$

En el caso de caída libre bajo gravedad uniforme (despreciando resistencia del aire), $F = -mg$, lo que produce la EDO lineal de segundo orden:

$$\frac{d^2 x}{dt^2} = -g \;\Longrightarrow\; x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$$

Si se incorpora la resistencia del aire proporcional a la velocidad, $F_{\text{arrastre}} = -\beta v$, se obtiene:

$$m\frac{dv}{dt} = -mg - \beta v \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{dt} + \frac{\beta}{m}v = -g$$

Esta es una EDO lineal de primer orden en $v(t)$ que conduce al concepto de velocidad terminal.

Desintegración radiactiva

La ley empírica de desintegración establece que la velocidad a la que una sustancia radiactiva se desintegra es proporcional a la cantidad de núcleos presentes:

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N, \qquad N(0) = N_0$$

La solución es la conocida ley exponencial: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, donde $\lambda$ es la constante de desintegración. La vida media es $\tau_{1/2} = \ln 2 / \lambda$.

Conexión con la física

Ambos ejemplos muestran cómo una ley física expresada en lenguaje de derivadas se traduce naturalmente en una EDO. La solución de la EDO es la predicción cuantitativa que la teoría hace sobre el sistema. Este patrón —ley diferencial $\to$ EDO $\to$ solución— es transversal a toda la física matemática.

6. Campos de Direcciones y Soluciones Cualitativas

Para una EDO de primer orden en forma normal $y' = f(x,y)$, el valor $f(x,y)$ representa la pendiente de la curva solución que pasa por $(x,y)$. El campo de direcciones (o campo de pendientes) consiste en dibujar, en cada punto de una malla, un pequeño segmento con pendiente $f(x,y)$.

Este recurso gráfico permite visualizar el comportamiento cualitativo de las soluciones sin necesidad de resolver la ecuación analíticamente. Las curvas integrales son aquellas que en cada punto son tangentes al campo.

$$y' = x - y$$

En el cuadrante donde $x \gt y$, las pendientes son positivas y las soluciones crecen; donde $x \lt y$, las pendientes son negativas y las soluciones decrecen. La recta $y = x$ es una isoclina nula (pendiente cero), y las soluciones tienden a ella asintóticamente.

Isoclinas

Una isoclina es el lugar geométrico de los puntos donde el campo de direcciones tiene pendiente constante $m$: $f(x,y) = m$. Las isoclinas son herramientas fundamentales para esbozar campos de direcciones a mano, método ampliamente usado antes de la computación numérica.

El análisis cualitativo revela propiedades como estabilidad, periodicidad y comportamiento asintótico sin resolver la EDO. Conceptos como puntos de equilibrio ($y' = 0$) y su estabilidad serán centrales en capítulos posteriores.

Cuestionario

1. ¿Qué caracteriza a una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)?

2. ¿Cuál es el orden de la EDO $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} + x^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^5 + y = \sin x$?

3. ¿Cuál de las siguientes EDOs es lineal?

4. La solución general de $y' = ky$ (con $k$ constante) es:

5. El PVI $y' = y$, $y(0) = 1$ tiene como solución única:

6. ¿Qué ecuación surge de aplicar la segunda ley de Newton a una partícula de masa $m$ sujeta a una fuerza $F(t,x,v)$?

7. La ley de desintegración radiactiva se modela mediante la EDO:

8. ¿Qué muestra un campo de direcciones de $y' = f(x,y)$?

9. ¿Cuándo una EDO lineal $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = g(x)$ es homogénea?

10. ¿Cuántas constantes arbitrarias contiene la solución general de una EDO de orden $n$?