Capítulo 5 — Sistemas de EDOs y Mecánica Hamiltoniana
5.1 — Sistemas Lineales de Primer Orden
Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden acopladas puede escribirse de manera compacta en forma matricial. Si $\mathbf{x}(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t))^T$, el sistema adopta la estructura
donde $A$ es una matriz constante de coeficientes. Esta representación permite trasladar el problema al álgebra lineal: las soluciones se expresan como combinaciones de exponenciales de matrices. La solución al problema de valor inicial $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ queda dada formalmente por la exponencial matricial:
En física aparecen naturalmente en la reducción de orden de ecuaciones de segundo grado. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$ puede escribirse como un sistema $2 \times 2$ introduciendo la velocidad $v = \dot{x}$:
Superposición lineal
Si $\mathbf{x}_1(t)$ y $\mathbf{x}_2(t)$ son soluciones del sistema lineal homogéneo, cualquier combinación lineal $c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2$ también lo es. El conjunto de soluciones forma un espacio vectorial de dimensión $n$, y toda solución se expresa como combinación de $n$ soluciones linealmente independientes.
5.2 — Autovalores y Autovectores
Para resolver $d\mathbf{x}/dt = A\mathbf{x}$ se propone una solución de la forma $\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t} \mathbf{v}$, donde $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$. Sustituyendo se obtiene el problema de autovalores:
El polinomio característico $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ determina la naturaleza de las soluciones. Se distinguen tres casos principales:
Autovalores reales y distintos
Si $A$ posee $n$ autovalores reales distintos $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ con autovectores asociados $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n$, la solución general es una superposición de modos exponenciales independientes:
Autovalores complejos
Si $A$ es real, los autovalores complejos aparecen en pares conjugados: $\lambda = \alpha \pm i\beta$. Las soluciones correspondientes, mediante la fórmula de Euler, contienen senos y cosenos que producen movimiento oscilatorio con amplitud modulada por $e^{\alpha t}$. La solución real se obtiene tomando partes real e imaginaria de $e^{\lambda t}\mathbf{v}$.
Autovalores repetidos
Cuando hay multiplicidad geométrica insuficiente (el autoespacio tiene dimensión menor que la multiplicidad algebraica), deben introducirse autovectores generalizados. La solución incorpora términos polinómicos: $e^{\lambda t}( \mathbf{v}_1 + t \mathbf{v}_2 + \dots )$.
Teorema de diagonalización
Si $A$ posee $n$ autovectores linealmente independientes, entonces $A = PDP^{-1}$ con $D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. La exponencial matricial se reduce a $e^{At} = P e^{Dt} P^{-1}$, donde $e^{Dt} = \operatorname{diag}(e^{\lambda_1 t}, \dots, e^{\lambda_n t})$.
5.3 — Planos de Fase y Retratos de Fase
Para sistemas bidimensionales ($n = 2$), el plano fase $(x, y)$ —o $(x, \dot{x})$ en sistemas mecánicos— permite visualizar cualitativamente todas las soluciones. El retrato de fase es el conjunto de trayectorias orientadas en este plano, cada una correspondiente a una condición inicial distinta.
La clasificación de puntos de equilibrio $\mathbf{x}^*$ (donde $A\mathbf{x}^* = \mathbf{0}$ para el origen, tras translación) depende del signo y naturaleza de los autovalores:
| Condición | Clasificación | Estabilidad |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$, $D > 0$, $\tau < 0$ | Nodo estable | Asintóticamente estable |
| $\Delta > 0$, $D > 0$, $\tau > 0$ | Nodo inestable | Inestable |
| $\Delta < 0$ | Punto silla | Inestable |
| $D < 0$, $\tau = 0$ | Centro | Estable (no asintótico) |
| $D < 0$, $\tau < 0$ | Foco (espiral) estable | Asintóticamente estable |
| $D < 0$, $\tau > 0$ | Foco (espiral) inestable | Inestable |
El punto silla ($\Delta < 0$) es particularmente relevante en física: la separatriz divide el plano fase en regiones con comportamientos cualitativamente distintos. Aparece en el péndulo invertido, en las proximidades de puntos de ensilladura de la energía potencial.
Interpretación física del oscilador armónico
Para $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, la matriz del sistema tiene traza nula y determinante positivo ($\tau = 0$, $\Delta = \omega^2$). Los autovalores son $\pm i\omega$, puramente imaginarios, y el origen es un centro. Las órbitas en el plano fase $(x, \dot{x}/\omega)$ son círculos, reflejo de la conservación de la energía: $E = \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} \omega^2 x^2 = \text{constante}$.
5.4 — Sistemas No Lineales y Linealización
La mayoría de los sistemas físicos son inherentemente no lineales: $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, con $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ suave. Sin embargo, cerca de un punto de equilibrio $\mathbf{x}^*$ (donde $\mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$), el comportamiento cualitativo puede aproximarse mediante el sistema linealizado.
La matriz jacobiana evaluada en el equilibrio proporciona la mejor aproximación lineal:
El sistema linealizado es $\dot{\mathbf{y}} = J(\mathbf{x}^*)\,\mathbf{y}$ donde $\mathbf{y} = \mathbf{x} - \mathbf{x}^*$ es la desviación del equilibrio.
Teorema de Hartman–Grobman
Si todos los autovalores de $J(\mathbf{x}^*)$ tienen parte real no nula (el punto es hiperbólico), entonces existe un homeomorfismo local que lleva las órbitas del sistema no lineal a las del sistema linealizado, preservando la orientación. El comportamiento cualitativo local —estabilidad, tipo de punto crítico— coincide con el del sistema lineal.
La linealización falla cuando hay autovalores con parte real nula (centros, casos degenerados). En esos casos el comportamiento queda determinado por términos no lineales de orden superior; pueden aparecer ciclos límite, bifurcaciones y caos determinista.
5.5 — Ecuaciones Canónicas de Hamilton
En el formalismo lagrangiano, el estado de un sistema se describe mediante coordenadas generalizadas $\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_n)$ y velocidades generalizadas $\dot{\mathbf{q}}$. Las ecuaciones de Euler–Lagrange,
conducen a $n$ ecuaciones diferenciales de segundo orden. Hamilton propuso una reformulación de primer orden duplicando el número de variables: los momentos canónicos conjugados $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ reemplazan a las velocidades. Las ecuaciones canónicas de Hamilton son:
Estas $2n$ ecuaciones de primer orden son simétricas en estructura —salvo por el signo— y revelan la intrincada geometría simpléctica del espacio de fases. A diferencia de las ecuaciones de Euler–Lagrange, que requieren condiciones de contorno en el espacio de configuraciones, las ecuaciones de Hamilton pueden abordarse como un problema de valor inicial en el espacio de fases.
Estructura simpléctica
Definiendo el vector de estado $\boldsymbol{\xi} = (q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)^T$ y la matriz simpléctica $J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}$, las ecuaciones de Hamilton se sintetizan como $\dot{\boldsymbol{\xi}} = J \nabla H(\boldsymbol{\xi})$. Esta estructura es invariante bajo transformaciones canónicas, lo que constituye el teorema fundamental de la mecánica hamiltoniana.
5.6 — Transformada de Legendre
El paso del lagrangiano $L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$ al hamiltoniano $H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ se realiza mediante la transformada de Legendre, que intercambia variables por sus conjugadas. En lugar de describir el sistema con velocidades, se describe con momentos:
donde las velocidades $\dot{q}_i$ deben expresarse en función de $(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ invirtiendo la relación $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$. La transformada de Legendre aparece naturalmente en termodinámica (energía libre de Helmholtz, entalpía) y en análisis convexo.
Para un sistema mecánico estándar con $L = T - V$, donde $T = \frac{1}{2} \sum m_i \dot{q}_i^2$ es la energía cinética, la transformación produce:
El hamiltoniano coincide con la energía total siempre que la energía cinética sea una forma cuadrática homogénea en las velocidades y las ligaduras sean esclerónomas (independientes del tiempo). En caso contrario, $H$ puede diferir de la energía mecánica.
Invertibilidad
La transformada de Legendre requiere que $L$ sea convexa en $\dot{\mathbf{q}}$, es decir, que la matriz hessiana $\partial^2 L / \partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j$ sea definida positiva. Esta condición garantiza la invertibilidad de $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ y permite definir unívocamente $H$.
5.7 — Espacio de Fases y Corchetes de Poisson
El espacio de fases $\mathbb{R}^{2n}$ de coordenadas $(\mathbf{q}, \mathbf{p})$ es la arena natural de la mecánica hamiltoniana. Cada punto representa un estado microscópico completo del sistema, y su evolución temporal es una curva parametrizada por $t$ cuyo vector tangente está dado por el campo vectorial hamiltoniano $X_H = (\partial H/\partial \mathbf{p}, -\partial H/\partial \mathbf{q})$.
La evolución de cualquier observable $f(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$ viene gobernada por el corchete de Poisson, una operación bilineal, antisimétrica que satisface la identidad de Jacobi:
Con esta definición, la derivada temporal de un observable a lo largo de una trayectoria hamiltoniana se expresa elegantemente:
Los corchetes de Poisson fundamentales entre coordenadas canónicas son:
Conexión con la mecánica cuántica
El principio de correspondencia de Dirac establece el puente entre la mecánica clásica y la cuántica: los corchetes de Poisson se reemplazan por conmutadores de operadores:
Esta correspondencia es la base de la cuantización canónica y conduce directamente a las relaciones de conmutación de Heisenberg $[\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.
Propiedades algebraicas del corchete de Poisson
- Bilinealidad: $\{\alpha f + \beta g, h\} = \alpha\{f, h\} + \beta\{g, h\}$
- Antisimetría: $\{f, g\} = -\{g, f\}$
- Identidad de Jacobi: $\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$
- Regla de Leibniz: $\{f g, h\} = f\{g, h\} + \{f, h\}g$
Estas propiedades dotan al espacio de observables de una estructura de álgebra de Lie de dimensión infinita, isomorfa al álgebra de campos vectoriales hamiltonianos.