Capítulo 3 — EDOs Lineales de Orden Superior

3.1 Ecuaciones Homogéneas con Coeficientes Constantes

Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$ con coeficientes constantes tiene la forma general

$$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0$$

donde $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 \in \mathbb{R}$ son constantes y $a_n \neq 0$. La idea central para resolver este tipo de ecuaciones consiste en proponer soluciones de la forma $y(x) = e^{rx}$. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial se obtiene, después de factorizar $e^{rx}$, el polinomio característico asociado:

$$a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_1 r + a_0 = 0$$

Este polinomio es el elemento fundamental del método. Cada raíz $r$ del polinomio característico genera una solución $y(x) = e^{rx}$ de la ecuación diferencial. Para ecuaciones de orden $n$, el polinomio es de grado $n$ y, por el Teorema Fundamental del Álgebra, posee exactamente $n$ raíces en $\mathbb{C}$, contadas con multiplicidad. La naturaleza de estas raíces — reales distintas, reales repetidas o complejas conjugadas — determina la forma de la solución general.

Propuesta de solución

Para $a_n y^{(n)} + \cdots + a_0 y = 0$, se propone $y = e^{rx}$, se deriva: $y' = r e^{rx}$, $y'' = r^2 e^{rx}$, ..., $y^{(n)} = r^n e^{rx}$. Al sustituir, el factor $e^{rx} \neq 0$ se cancela y se obtiene el polinomio característico.

El método se reduce, por tanto, a un problema algebraico: hallar las raíces del polinomio característico. La estructura del espacio de soluciones — el conjunto de todas las funciones que satisfacen la ecuación homogénea — es un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre $\mathbb{R}$ (o sobre $\mathbb{C}$ si se admiten soluciones complejas).

3.2 Casos de la Ecuación Característica

Según la naturaleza de las raíces del polinomio característico, se distinguen tres casos principales. Para una ecuación de segundo orden $ay'' + by' + cy = 0$, el polinomio característico es $ar^2 + br + c = 0$.

Caso I: Raíces reales distintas ($r_1 \neq r_2$)

Si el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac > 0$, las raíces son reales y distintas. La solución general es

$$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$

donde $C_1$ y $C_2$ son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones iniciales.

Caso II: Raíces reales repetidas ($r_1 = r_2 = r$)

Cuando $\Delta = 0$, la raíz es doble: $r = -b/(2a)$. En este caso la solución general es

$$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$$

Para raíces de multiplicidad $m > 2$ en ecuaciones de orden superior, el conjunto fundamental incluye los términos $e^{rx}, x e^{rx}, x^2 e^{rx}, \ldots, x^{m-1} e^{rx}$.

Caso III: Raíces complejas conjugadas ($r = \alpha \pm i\beta$)

Si $\Delta < 0$, las raíces son complejas conjugadas: $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$. Usando la fórmula de Euler $e^{i\beta x} = \cos(\beta x) + i\sin(\beta x)$, las soluciones reales resultan ser

$$y(x) = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right)$$

El signo de $\alpha$ determina el comportamiento asintótico: si $\alpha < 0$, las soluciones decaen (amortiguamiento); si $\alpha > 0$, crecen exponencialmente (inestabilidad); si $\alpha = 0$, se obtienen oscilaciones puras.

Resumen: Tabla de soluciones para $ay'' + by' + cy = 0$

Discriminante	Raíces	Solución general
$\Delta > 0$	$r_1, r_2 \in \mathbb{R}$, $r_1 \neq r_2$	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
$\Delta = 0$	$r_1 = r_2 = r$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$
$\Delta < 0$	$r = \alpha \pm i\beta$	$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$

La extensión a orden $n$ es directa: para raíces reales de multiplicidad $m$ se incluyen términos $x^k e^{rx}$ con $k = 0, 1, \ldots, m-1$; para pares complejos conjugados de multiplicidad $m$, los términos asociados son $x^k e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ y $x^k e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ con $k = 0, 1, \ldots, m-1$.

3.3 Wronskiano e Independencia Lineal

Dado un conjunto de $n$ funciones $\{f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)\}$ definidas en un intervalo $I$, la independencia lineal se caracteriza mediante el determinante Wronskiano:

$$W(f_1, f_2, \ldots, f_n)(x) = \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{vmatrix}$$

Teorema. Si $W(f_1,\ldots,f_n)(x) \neq 0$ en al menos un punto de $I$, entonces las funciones son linealmente independientes en $I$. Si $W \equiv 0$ en $I$, las funciones pueden ser dependientes o independientes, pero si son soluciones de una EDO lineal homogénea con coeficientes continuos, entonces $W \equiv 0$ en todo punto equivale a dependencia lineal.

Identidad de Abel

Para una ecuación $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ normalizada, el Wronskiano de dos soluciones satisface la identidad de Abel:

$$W(y_1, y_2)(x) = W_0 \, \exp\!\left( -\int_{x_0}^{x} p(t)\, dt \right)$$

Esta identidad muestra que el Wronskiano nunca se anula (si $W_0 \neq 0$) o es idénticamente cero. No hay término medio: si dos soluciones de la misma ecuación homogénea son linealmente independientes, su Wronskiano no se anula en ningún punto del intervalo.

La identidad de Abel tiene una interpretación física importante: en un sistema conservativo, el «volumen» en el espacio de fases se conserva (teorema de Liouville), resultado análogo a la preservación del Wronskiano en la variable independiente.

3.4 Sistemas Fundamentales de Soluciones

Un sistema fundamental de soluciones de una ecuación lineal homogénea de orden $n$ es un conjunto de $n$ soluciones linealmente independientes $\{y_1(x), \ldots, y_n(x)\}$. Toda solución de la ecuación puede expresarse como una combinación lineal única de estas funciones:

$$y(x) = \sum_{j=1}^{n} C_j \, y_j(x)$$

donde las constantes $C_1, \ldots, C_n$ se determinan de manera única a partir de las condiciones iniciales $y(x_0), y'(x_0), \ldots, y^{(n-1)}(x_0)$.

Teorema (Existencia y unicidad). Dada la ecuación $y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_0(x)y = 0$ con coeficientes continuos en $I$, existe una única solución en $I$ para cada conjunto de condiciones iniciales $(y_0, y_0', \ldots, y_0^{(n-1)})$ en $x_0 \in I$.

En la práctica, para la ecuación con coeficientes constantes, un sistema fundamental se construye directamente a partir de las raíces del polinomio característico, como se describió en las secciones anteriores. La dimensión del espacio de soluciones es exactamente el orden $n$ de la ecuación.

Para problemas de valor inicial en física — por ejemplo, un oscilador con posición $x(0) = x_0$ y velocidad $\dot{x}(0) = v_0$ — el sistema fundamental permite expresar el movimiento como superposición de modos normales, cada uno ponderado de acuerdo a las condiciones iniciales.

3.5 Oscilador Armónico Simple

El oscilador armónico simple es el modelo físico por excelencia al que se aplica la teoría de EDOs lineales homogéneas de segundo orden. Consideremos una masa $m$ unida a un resorte de constante elástica $k$ sobre una superficie sin fricción. La ley de Hooke establece que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento: $F = -k x$.

Aplicando la segunda ley de Newton $F = m a = m \ddot{x}$, obtenemos

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$

donde $\omega = \sqrt{k/m}$ es la frecuencia angular natural del sistema. Esta es una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes. El polinomio característico es $r^2 + \omega^2 = 0$, cuyas raíces son $r = \pm i\omega$ (caso de raíces complejas conjugadas con $\alpha = 0$).

La solución general puede escribirse en tres formas equivalentes:

\begin{align} x(t) &= C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t) \quad &\text{(forma trigonométrica)} \\[4pt] x(t) &= A \cos(\omega t - \phi) \quad &\text{(forma amplitud-fase)} \\[4pt] x(t) &= B_1 e^{i\omega t} + B_2 e^{-i\omega t} \quad &\text{(forma exponencial compleja)} \end{align}

La relación entre constantes es $A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}$, $\tan\phi = C_2/C_1$. La energía total del sistema, $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$, se conserva y toma el valor constante $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$.

El período de oscilación es $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$, independiente de la amplitud — propiedad característica del oscilador armónico denominada isocronismo. Esta independencia es la razón por la cual el oscilador armónico es fundamental en tantas áreas de la física: desde relojes de péndulo (para pequeñas amplitudes) hasta modos normales de vibración en moléculas y cuantización del campo electromagnético.

3.6 Ecuación de Cauchy-Euler

La ecuación de Cauchy-Euler (también llamada ecuación equidimensional) tiene la forma

$$a x^2 y'' + b x y' + c y = 0, \qquad x > 0$$

donde $a, b, c$ son constantes. Se resuelve proponiendo soluciones de la forma $y = x^m$. Sustituyendo se obtiene la ecuación indicial:

$$a m (m-1) + b m + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad a m^2 + (b-a)m + c = 0$$

Los casos son análogos a los del polinomio característico:

Raíces reales distintas $m_1 \neq m_2$: $y(x) = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2}$.
Raíz doble $m$: $y(x) = (C_1 + C_2 \ln x)\, x^{m}$.
Raíces complejas $m = \alpha \pm i\beta$: $y(x) = x^{\alpha}\left(C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)\right)$.

La ecuación de Cauchy-Euler aparece naturalmente en problemas con simetría radial o esférica, como la ecuación de Laplace en coordenadas polares y el estudio de potenciales electrostáticos. Mediante el cambio de variable $x = e^t$ (o $t = \ln x$) se transforma en una ecuación lineal con coeficientes constantes, lo que revela la conexión profunda entre ambas familias.

Cambio de variable $x = e^t$

Con $x = e^t$, se tiene $y'(x) = e^{-t} \dot{y}(t)$ y $y''(x) = e^{-2t}(\ddot{y} - \dot{y})$, donde el punto indica derivada respecto de $t$. Sustituyendo, la ecuación de Cauchy-Euler se convierte en $a \ddot{y} + (b-a) \dot{y} + c y = 0$, una EDO con coeficientes constantes que se resuelve con los métodos de la Sección 3.1.