Capítulo 2 — Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Métodos elementales, factor integrante y aplicaciones físicas
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Ecuaciones Separables

Una EDO de primer orden se dice separable si puede escribirse en la forma:

$$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \qquad \text{o bien} \qquad M(x)\,N(y)\,dx + P(x)\,Q(y)\,dy = 0$$

El método consiste en separar las variables: agrupar todo lo que depende de $y$ con $dy$ y todo lo que depende de $x$ con $dx$, y luego integrar ambos miembros.

$$\frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$$

Ejemplo: crecimiento exponencial

Resolver $y' = ky$. Separando: $\frac{dy}{y} = k\,dx$. Integrando: $\ln|y| = kx + C_1$, de donde $y = C e^{kx}$ con $C = \pm e^{C_1}$. Esta es la solución general.

Es importante verificar si $h(y) = 0$ aporta soluciones singulares que pudieron perderse al dividir. Por ejemplo, en $y' = y^2$, la función $y = 0$ es solución pero no se obtiene de la familia $y = -1/(x + C)$.

Forma diferencial

Muchas ecuaciones separables se presentan en forma diferencial: $M(x)dx + N(y)dy = 0$. En ese caso la integración es directa: $\int M(x)dx + \int N(y)dy = C$. Esta forma es la base de las ecuaciones exactas que veremos más adelante.

2. Ecuaciones Lineales de Primer Orden

La forma estándar de una EDO lineal de primer orden es:

$$y' + P(x)\,y = Q(x)$$

El método del factor integrante consiste en multiplicar ambos miembros por una función $\mu(x)$ que convierte el lado izquierdo en la derivada de un producto. Se puede demostrar que:

$$\mu(x) = \exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)$$

Multiplicando la EDO por $\mu(x)$ se obtiene:

$$\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)y\bigr] = \mu(x)Q(x)$$

Integrando ambos lados y despejando $y$:

$$y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right]$$

Demostración del factor integrante

Buscamos $\mu(x)$ tal que $\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu y' + \mu' y$ coincida con $\mu y' + \mu P y$. Igualando: $\mu' = \mu P$, de donde $\frac{d\mu}{\mu} = P\,dx$ y $\mu = \exp(\int P\,dx)$. No es necesario incluir la constante de integración en $\mu$, pues se cancela en la fórmula final.

Ejemplo con factor integrante

Resolver $y' + 2xy = x$. Aquí $P(x) = 2x$, $Q(x) = x$. El factor integrante es $\mu(x) = \exp(\int 2x\,dx) = e^{x^2}$. Multiplicando: $\frac{d}{dx}[e^{x^2} y] = x e^{x^2}$. Integrando: $e^{x^2} y = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$, de donde $y = \frac{1}{2} + C e^{-x^2}$.

3. Ecuaciones Exactas y Factor Integrante

Una EDO escrita en forma diferencial $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si existe una función $\psi(x,y)$ tal que:

$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y), \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y)$$

Por el teorema de Clairaut (igualdad de derivadas cruzadas), la condición de exactitud es:

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

Cuando esta condición se cumple, la solución general está dada implícitamente por $\psi(x,y) = C$, donde $\psi$ se reconstruye integrando $M$ respecto de $x$ (o $N$ respecto de $y$) y determinando la función arbitraria faltante mediante derivación.

Ejemplo de ecuación exacta

La ecuación $(2xy + 1)dx + (x^2 + 4y)dy = 0$ es exacta, pues $\frac{\partial M}{\partial y} = 2x = \frac{\partial N}{\partial x}$. Integrando $M$ respecto de $x$: $\psi = x^2y + x + h(y)$. Derivando respecto de $y$: $\frac{\partial\psi}{\partial y} = x^2 + h'(y) = x^2 + 4y$, de donde $h'(y) = 4y$ y $h(y) = 2y^2$. La solución es $x^2 y + x + 2y^2 = C$.

Cuando la ecuación no es exacta, a veces es posible encontrar un factor integrante $\mu(x,y)$ tal que $\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0$ sí lo sea. Los casos más simples son:

$$\text{Si } \frac{M_y - N_x}{N} \text{ depende solo de }x \;\Longrightarrow\; \mu(x) = \exp\!\left(\int \frac{M_y - N_x}{N}\,dx\right)$$

Factores integrantes no triviales

En general, encontrar $\mu(x,y)$ requiere resolver la EDP $\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$, lo cual puede ser más difícil que la ecuación original. En la práctica, se buscan factores que dependan de una sola variable o de combinaciones simples como $x+y$ o $xy$.

4. Ecuaciones Homogéneas y de Bernoulli

Ecuaciones Homogéneas

Una función $f(x,y)$ es homogénea de grado $n$ si $f(tx, ty) = t^n f(x,y)$ para todo $t$. Una EDO de la forma $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es homogénea si $M$ y $N$ son funciones homogéneas del mismo grado. La sustitución $y = vx$ (o $x = vy$) reduce la ecuación a una separable en las variables $x$ y $v$.

$$y = vx \;\Longrightarrow\; dy = v\,dx + x\,dv \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{F(v) - v} = \frac{dx}{x}$$

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli tiene la forma:

$$y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n, \qquad n \in \mathbb{R},\; n \neq 0, 1$$

La sustitución $w = y^{1-n}$ la transforma en una ecuación lineal en $w$:

$$w' + (1-n)P(x)\,w = (1-n)Q(x)$$

Casos particulares

Si $n = 0$, la ecuación de Bernoulli se reduce a la ecuación lineal estándar $y' + P(x)y = Q(x)$. Si $n = 1$, es una ecuación separable $y' = [Q(x) - P(x)]y$. Los casos $n > 0$ y $n \neq 1$ son los que requieren la sustitución $w = y^{1-n}$.

5. Aplicaciones Físicas

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura $T(t)$ de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente $T_{\text{amb}}$:

$$\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_{\text{amb}}), \qquad k > 0$$

Esta es una EDO lineal separable. Con condición inicial $T(0) = T_0$, su solución es:

$$T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})\,e^{-kt}$$

La temperatura del cuerpo converge exponencialmente a $T_{\text{amb}}$, y la constante $k$ determina la rapidez del proceso.

Mezclas químicas

Un tanque contiene inicialmente un volumen $V_0$ de solución con $Q_0$ gramos de soluto. Entra solución a razón de $r_e$ L/s con concentración $c_e$ g/L, y sale a razón $r_s$ L/s. La cantidad de soluto $Q(t)$ satisface:

$$\frac{dQ}{dt} = r_e c_e - r_s\,\frac{Q(t)}{V(t)}, \qquad V(t) = V_0 + (r_e - r_s)t$$

Esta es una EDO lineal de primer orden en $Q(t)$ que se resuelve con factor integrante.

Circuitos RC

En un circuito RC en serie con una fuente de voltaje $E(t)$, la carga $q(t)$ en el capacitor satisface la EDO lineal:

$$R\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}\,q = E(t)$$

En forma estándar: $\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}q = \frac{E(t)}{R}$. El factor integrante es $\mu(t) = e^{t/RC}$. Para $E(t) = E_0$ constante, la solución con $q(0) = 0$ es:

$$q(t) = CE_0\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

Analogía física unificadora

Las tres aplicaciones —enfriamiento, mezclas y circuitos RC— responden a la misma estructura matemática $\frac{dy}{dt} + \alpha y = \beta$, con condiciones iniciales que determinan la solución particular. Esta universalidad es una de las razones por las que las EDOs de primer orden son una herramienta fundamental en física e ingeniería.

6. Existencia y Unicidad para EDOs de Primer Orden

Consideremos el PVI de primer orden en forma normal:

$$y' = f(x,y), \qquad y(x_0) = y_0$$

Teorema de Picard-Lindelöf (enunciado): Si $f(x,y)$ es continua en un rectángulo $R = \{(x,y) : |x - x_0| \le a,\; |y - y_0| \le b\}$ y satisface la condición de Lipschitz en $y$ (uniformemente en $x$), es decir, existe $L > 0$ tal que:

$$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L\,|y_1 - y_2| \qquad \forall\,(x,y_1),(x,y_2) \in R,$$

entonces existe una única solución $y = \phi(x)$ del PVI definida en un intervalo $|x - x_0| \le h$ donde $h = \min(a, b/M)$ con $M = \max_R |f(x,y)|$.

Condición suficiente de Lipschitz

Si $\frac{\partial f}{\partial y}$ existe y es continua en $R$, entonces $f$ es Lipschitz en $y$. Esta es la condición más fácil de verificar en la práctica. Por ejemplo, $f(x,y) = y^{2/3}$ no satisface Lipschitz en $y = 0$ (derivada infinita), y en efecto la EDO $y' = y^{2/3}$ con $y(0) = 0$ admite infinitas soluciones, como $y = 0$ y $y = (x/3)^3$.

El teorema garantiza dos cosas: (1) que el problema tiene solución (existencia), y (2) que bajo condiciones adicionales esa solución es única (unicidad). Su demostración se basa en la construcción iterativa de Picard, que será estudiada en detalle en el Capítulo 7.

Interpretación geométrica

El teorema de Picard-Lindelöf asegura que por cada punto $(x_0,y_0)$ del rectángulo $R$ pasa una y solo una curva integral del campo de direcciones. Las curvas integrales no pueden cortarse: si dos soluciones distintas coincidieran en un punto, la unicidad obligaría a que fueran la misma en todo el intervalo común.

Cuestionario

1. La EDO $\displaystyle \frac{dy}{dx} = x^2 y$ se clasifica como:

2. El factor integrante para la EDO $y' + \frac{2}{x}y = x^2$ es:

3. La condición $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ garantiza que la ecuación $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es:

4. ¿Qué sustitución transforma la ecuación de Bernoulli $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ en una lineal?

5. La solución de la ley de enfriamiento $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$ con $T(0) = T_0$ es:

6. En un circuito RC serie, la EDO para la carga $q(t)$ con voltaje constante $E_0$ es:

7. La ecuación $(2x + y)dx + (x + 3y^2)dy = 0$ es exacta porque:

8. Para la EDO $y' + y = e^{-x}$, el factor integrante es $\mu(x) = e^x$. Multiplicando, ¿qué se obtiene?

9. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza la unicidad de la solución si $f(x,y)$ satisface la condición de:

10. ¿Qué tipo de EDO es $y' = \frac{-x}{y}$?