Capítulo 8 — Soluciones en Series de Potencias

1. Puntos Ordinarios y Soluciones en Series

Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden en forma normalizada:

$$ y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0. $$

Un punto $x = x_0$ se denomina punto ordinario de la ecuación si las funciones $P(x)$ y $Q(x)$ son analíticas en $x_0$, es decir, admiten desarrollos en series de potencias convergentes en un entorno de $x_0$. En caso contrario, $x_0$ es un punto singular.

Teorema de existencia en series

Si $x_0$ es un punto ordinario de $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma

$$ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, $$

cuyo radio de convergencia es al menos la distancia desde $x_0$ al punto singular más cercano de $P$ o $Q$ en el plano complejo.

El método de series de potencias consiste en suponer una solución de la forma $y = \sum a_n (x-x_0)^n$, calcular sus derivadas, sustituir en la ecuación diferencial e igualar coeficientes de potencias iguales de $(x-x_0)$ para obtener una relación de recurrencia que determina los coeficientes $a_n$ en términos de $a_0$ y $a_1$.

El radio de convergencia $R$ viene dado por la fórmula de Cauchy-Hadamard:

$$ R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|, $$

siempre que estos límites existan. Las dos constantes arbitrarias $a_0$ y $a_1$ corresponden a los valores iniciales $y(x_0)$ e $y'(x_0)$, generando así las dos soluciones linealmente independientes del espacio de soluciones.

2. Método de Frobenius para Puntos Singulares Regulares

Un punto singular $x_0$ se denomina singular regular si las funciones $(x-x_0)P(x)$ y $(x-x_0)^2 Q(x)$ son analíticas en $x_0$. En tal caso, el método de Frobenius busca soluciones de la forma:

$$ y(x) = (x - x_0)^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n+r}, $$

donde $r \in \mathbb{C}$ es un exponente a determinar y $a_0 \neq 0$. Sustituyendo en la ecuación, el término de menor orden produce la ecuación indicial:

$$ r(r-1) + p_0 r + q_0 = 0, $$

donde $p_0 = \lim_{x\to x_0} (x-x_0)P(x)$ y $q_0 = \lim_{x\to x_0} (x-x_0)^2 Q(x)$. Las raíces $r_1$ y $r_2$ de la ecuación indicial determinan la forma de las soluciones. Asumamos $r_1 \geq r_2$ (parte real):

Clasificación según las raíces indiciales

$r_1 - r_2 \notin \mathbb{Z}$: Dos soluciones linealmente independientes de la forma $y_i = (x-x_0)^{r_i} \sum a_n^{(i)} (x-x_0)^n$.
$r_1 = r_2$: Una solución de Frobenius $y_1$ y una segunda solución que contiene un término logarítmico: $y_2 = y_1 \ln|x-x_0| + (x-x_0)^{r_1} \sum b_n (x-x_0)^n$.
$r_1 - r_2 \in \mathbb{N}$: La raíz mayor siempre produce una solución de Frobenius. La raíz menor puede producir una segunda solución de Frobenius o bien requerir un término logarítmico.

La presencia de términos logarítmicos refleja el comportamiento singular de la solución cerca del punto $x_0$. Este método es fundamental porque la mayoría de las ecuaciones de la física matemática poseen puntos singulares regulares.

3. Ecuación y Funciones de Bessel

La ecuación de Bessel de orden $\nu$ surge naturalmente al resolver la ecuación de Laplace o la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas mediante separación de variables:

$$ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0. $$

El punto $x = 0$ es un punto singular regular. Aplicando el método de Frobenius con $r = \pm \nu$, se obtienen las funciones de Bessel de primera especie:

$$ J_{\nu}(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}. $$

Para $\nu \notin \mathbb{Z}$, $J_{\nu}$ y $J_{-\nu}$ son linealmente independientes. Para $\nu = n \in \mathbb{Z}$, se tiene $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$, y se requiere la función de Bessel de segunda especie (o función de Neumann) $Y_n(x)$ como segunda solución independiente.

Aplicaciones físicas de las funciones de Bessel

Vibraciones de una membrana circular: los modos normales de un tambor circular se expresan en términos de $J_n$.
Difracción de Fresnel y Fraunhofer: patrones de difracción por aberturas circulares (disco de Airy).
Guías de onda cilíndricas: modos electromagnéticos TM y TE en cavidades resonantes.
Potenciales en simetría cilíndrica: soluciones de la ecuación de Laplace $\nabla^2 \Phi = 0$ en coordenadas cilíndricas.
Mecánica cuántica relativista: expansiones en ondas parciales de funciones de onda.

4. Ecuación y Polinomios de Legendre

La ecuación de Legendre aparece al separar variables en la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con simetría azimutal:

$$ (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0, \qquad n \in \mathbb{N}_0. $$

Los puntos $x = \pm 1$ son singulares regulares. Para $n$ entero no negativo, una de las soluciones se reduce a un polinomio: los polinomios de Legendre $P_n(x)$. Estos polinomios están dados por la fórmula de Rodrigues:

$$ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( x^2 - 1 \right)^n. $$

Los primeros polinomios son: $P_0(x) = 1$, $P_1(x) = x$, $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$, $P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$. Los polinomios de Legendre forman un conjunto ortogonal completo en $L^2([-1,1])$:

$$ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}. $$

Su función generadora es $\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) t^n$, fundamental en la expansión multipolar del potencial electrostático. En física, los $P_n(x)$ con $x = \cos\theta$ constituyen los armónicos esféricos con $m = 0$, esenciales para describir orbitales atómicos, el potencial gravitatorio planetario y la radiación electromagnética.

5. Ecuación y Polinomios de Hermite

La ecuación de Hermite surge en el oscilador armónico cuántico al separar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$$ y'' - 2x y' + 2n y = 0, \qquad n \in \mathbb{N}_0. $$

Esta ecuación tiene un punto ordinario en $x = 0$ (ningún punto singular en el plano finito). Para $n$ entero, una solución es el polinomio de Hermite $H_n(x)$, dado por la fórmula de Rodrigues:

$$ H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}. $$

Los primeros polinomios son: $H_0 = 1$, $H_1 = 2x$, $H_2 = 4x^2 - 2$, $H_3 = 8x^3 - 12x$. Los polinomios de Hermite son ortogonales respecto al peso $w(x) = e^{-x^2}$:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} H_m(x) H_n(x)\, e^{-x^2}\, dx = 2^n n! \sqrt{\pi}\, \delta_{mn}. $$

Las autofunciones del oscilador armónico cuántico son:

$$ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2}, $$

con energías $E_n = \hbar\omega (n + 1/2)$. Los polinomios de Hermite definen la estructura nodal de las funciones de onda: $H_n$ tiene exactamente $n$ ceros reales, que corresponden a los nodos de $\psi_n$.

6. Polinomios de Laguerre

La ecuación de Laguerre aparece en la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno tras separar las variables angulares:

$$ x y'' + (1 - x) y' + n y = 0, \qquad n \in \mathbb{N}_0. $$

El punto $x = 0$ es singular regular. Para $n$ entero, la solución polinómica es el polinomio de Laguerre $L_n(x)$. Su fórmula de Rodrigues es:

$$ L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( x^n e^{-x} \right). $$

Los primeros polinomios: $L_0 = 1$, $L_1 = 1 - x$, $L_2 = 1 - 2x + \frac{x^2}{2}$, $L_3 = 1 - 3x + \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$. Son ortogonales en $[0, \infty)$ con peso $e^{-x}$:

$$ \int_{0}^{\infty} L_m(x) L_n(x)\, e^{-x}\, dx = \delta_{mn}. $$

Para el átomo de hidrógeno, la función de onda radial involucra los polinomios asociados de Laguerre $L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho)$, donde $n$ es el número cuántico principal, $\ell$ el número cuántico azimutal, y $\rho = 2r/(n a_0)$ es la variable radial adimensionalizada. Estos polinomios determinan la distribución de probabilidad radial del electrón.

Resumen: Funciones especiales y sus aplicaciones

Función	Ecuación	Aplicación física principal
$J_\nu(x)$	Bessel	Coordenadas cilíndricas: membrana circular, guías de onda
$P_n(x)$	Legendre	Coordenadas esféricas: potencial electrostático, armónicos esféricos
$H_n(x)$	Hermite	Oscilador armónico cuántico
$L_n(x)$	Laguerre	Átomo de hidrógeno (parte radial)

Todas estas familias comparten una estructura matemática común: son polinomios ortogonales clásicos que surgen como soluciones polinómicas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes polinómicos. Constituyen bases ortogonales en espacios de Hilbert con peso, una propiedad que los hace indispensables en la expansión de funciones y en la resolución de problemas de contorno en física matemática.

Capítulo 8 — Soluciones en Series de Potencias

1. Puntos Ordinarios y Soluciones en Series

Teorema de existencia en series

2. Método de Frobenius para Puntos Singulares Regulares

Clasificación según las raíces indiciales

3. Ecuación y Funciones de Bessel

Aplicaciones físicas de las funciones de Bessel

4. Ecuación y Polinomios de Legendre

5. Ecuación y Polinomios de Hermite

6. Polinomios de Laguerre

Resumen: Funciones especiales y sus aplicaciones

Cuestionario

1. Un punto $x = x_0$ se denomina ordinario de la ecuación $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ si:

2. El radio de convergencia de una solución en serie alrededor de un punto ordinario $x_0$ es al menos:

3. En el método de Frobenius, la ecuación indicial determina:

4. La ecuación de Bessel $x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$ aparece naturalmente al resolver problemas en:

5. Los polinomios de Legendre $P_n(x)$ son ortogonales en el intervalo:

6. Los polinomios de Hermite $H_n(x)$ son soluciones polinómicas de la ecuación:

7. Las autofunciones del oscilador armónico cuántico involucran:

8. La parte radial de la función de onda del átomo de hidrógeno se expresa mediante:

9. La ecuación de Legendre $(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$ admite soluciones polinómicas cuando:

10. La función generadora de los polinomios de Legendre, $\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n$, es: