Capítulo 4 — EDOs No Homogéneas y Mecánica Lagrangiana

4.1 Método de Coeficientes Indeterminados

Consideremos una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden $n$ con coeficientes constantes:

$$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$$

La solución general tiene la estructura $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$, donde $y_h$ es la solución de la ecuación homogénea asociada ($g \equiv 0$) y $y_p$ es una solución particular. El método de coeficientes indeterminados es aplicable cuando $g(x)$ pertenece a una clase restringida de funciones: polinomios, exponenciales, senos, cosenos, y productos finitos de estas.

La idea es proponer una «conjetura informada» (ansatz) para $y_p(x)$ con la misma forma funcional que $g(x)$ pero con coeficientes a determinar, y luego sustituir en la ecuación para calcularlos. Si algún término de la conjetura coincide con una solución de la ecuación homogénea, se multiplica por $x^s$, donde $s$ es el menor entero positivo que elimina la superposición.

Tabla de conjeturas para $g(x)$

$g(x)$	Conjetura para $y_p(x)$
$P_n(x)$ (polinomio grado $n$)	$x^s (A_n x^n + \cdots + A_1 x + A_0)$
$C e^{\alpha x}$	$x^s A e^{\alpha x}$
$C \cos(\beta x)$ o $C \sin(\beta x)$	$x^s (A \cos\beta x + B \sin\beta x)$
$P_n(x) e^{\alpha x}$	$x^s (A_n x^n + \cdots + A_0) e^{\alpha x}$
$e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$	$x^s e^{\alpha x}(A \cos\beta x + B \sin\beta x)$

$s$ es la multiplicidad de $\alpha + i\beta$ como raíz del polinomio característico ($s = 0$ si no es raíz).

El método del anulador proporciona un enfoque sistemático alternativo: se busca un operador diferencial $L_a$ tal que $L_a[g(x)] = 0$. Aplicando $L_a$ a ambos lados de la ecuación original se obtiene una ecuación homogénea de orden mayor cuyas soluciones incluyen $y_p(x)$; luego se determinan los coeficientes por sustitución directa.

4.2 Método de Variación de Parámetros

A diferencia del método de coeficientes indeterminados, la variación de parámetros es un método general que funciona para cualquier función $g(x)$ continua, incluso cuando no pertenece a la clase de funciones elementales mencionadas.

Para una ecuación de segundo orden $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$, con un sistema fundamental conocido $\{y_1(x), y_2(x)\}$ de la homogénea asociada, se propone:

$$y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)$$

Las funciones $u_1(x)$ y $u_2(x)$ satisfacen el sistema:

\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0 \\[6pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' = g(x) \end{cases}

Resolviendo por regla de Cramer, usando el Wronskiano $W(x) = W(y_1, y_2)(x)$, se obtiene:

u_1'(x) = -\frac{y_2(x) g(x)}{W(x)}, \qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x) g(x)}{W(x)}

Integrando estas expresiones se determinan $u_1$ y $u_2$, y por tanto $y_p$. La fórmula general para orden $n$ es:

$$y_p(x) = \sum_{j=1}^{n} y_j(x) \int \frac{W_j(x)}{W(x)}\, g(x)\, dx$$

donde $W_j(x)$ es el determinante que se obtiene al reemplazar la columna $j$ de la matriz Wronskiana por el vector $(0, 0, \ldots, 0, 1)^T$. Esta fórmula proporciona una receta constructiva universal para hallar soluciones particulares.

Comparación de métodos

Los coeficientes indeterminados son más rápidos cuando $g(x)$ tiene forma adecuada (polinomios, exponenciales, senos/cosenos), pero fracasan ante funciones como $\tan x$, $\ln x$, o $1/x$. La variación de parámetros funciona siempre, pero requiere calcular integrales que pueden ser no elementales. En la práctica física, el método de coeficientes indeterminados cubre la mayoría de los casos de interés: fuerzas constantes, sinusoidales, y exponenciales.

4.3 Principio de Superposición

El principio de superposición para ecuaciones lineales no homogéneas establece que si $y_{p1}$ es una solución particular de $L[y] = g_1(x)$ y $y_{p2}$ es una solución particular de $L[y] = g_2(x)$, entonces $y_p = y_{p1} + y_{p2}$ es una solución particular de $L[y] = g_1(x) + g_2(x)$.

En otras palabras, la respuesta del sistema a una suma de excitaciones es la suma de las respuestas individuales. Este principio es consecuencia directa de la linealidad del operador diferencial $L = a_n D^n + \cdots + a_1 D + a_0$:

$$L[y_{p1} + y_{p2}] = L[y_{p1}] + L[y_{p2}] = g_1(x) + g_2(x)$$

La superposición es particularmente útil cuando el término no homogéneo $g(x)$ puede descomponerse en partes más simples. Por ejemplo, para resolver $y'' + \omega^2 y = F_0 \cos(\gamma t) + mg$, se resuelve por separado cada sumando y se suman las soluciones particulares resultantes.

Este principio es la base matemática del análisis de Fourier aplicado a EDOs lineales: si un forzamiento periódico arbitrario se descompone en serie de Fourier, la respuesta es la superposición de las respuestas a cada armónico. En mecánica cuántica, la linealidad de la ecuación de Schrödinger garantiza que la superposición de estados es también un estado físicamente admisible.

4.4 Oscilador Armónico Forzado y Resonancia

El oscilador armónico forzado con amortiguamiento se describe mediante la ecuación:

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \cos(\gamma t)$$

Dividiendo por $m$ se obtiene la forma estándar $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = f_0 \cos(\gamma t)$, donde $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ es la frecuencia natural, $\beta = c/(2m)$ es el coeficiente de amortiguamiento, y $f_0 = F_0/m$.

La solución particular estacionaria (respuesta de régimen permanente) tiene la forma $x_p(t) = A \cos(\gamma t - \delta)$ con:

A = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \gamma^2)^2 + (2\beta\gamma)^2}}, \qquad \tan\delta = \frac{2\beta\gamma}{\omega_0^2 - \gamma^2}

El fenómeno de resonancia ocurre cuando la frecuencia de forzamiento $\gamma$ se aproxima a la frecuencia natural $\omega_0$. En el caso sin amortiguamiento ($\beta = 0$), la amplitud tiende a infinito cuando $\gamma \to \omega_0$. La solución particular en resonancia exacta ($\gamma = \omega_0$) toma la forma:

$$x_p(t) = \frac{f_0}{2\omega_0}\, t \sin(\omega_0 t)$$

Esta solución crece linealmente con el tiempo, lo que explica por qué estructuras sometidas a frecuencias resonantes pueden colapsar (puente de Tacoma, copas de cristal, etc.). Con amortiguamiento ($\beta > 0$), la amplitud resonante permanece finita: $A_{\text{max}} = f_0/(2\beta\omega_0\sqrt{1-\beta^2/\omega_0^2})$.

Fenómeno de batidos (beats)

Cuando $\gamma \approx \omega_0$ pero $\gamma \neq \omega_0$, la superposición de la solución homogénea y la particular produce el fenómeno de batidos: una oscilación rápida de frecuencia $(\omega_0 + \gamma)/2$ modulada por una envolvente lenta de frecuencia $|\omega_0 - \gamma|/2$. La solución para el caso no amortiguado con condiciones iniciales nulas es:

$$x(t) = \frac{2f_0}{\omega_0^2 - \gamma^2} \sin\!\left(\frac{\omega_0 - \gamma}{2} t\right) \sin\!\left(\frac{\omega_0 + \gamma}{2} t\right)$$

4.5 Principio de Mínima Acción y Ecuaciones de Euler-Lagrange

El principio de mínima acción (o principio de Hamilton) es el fundamento variacional de la mecánica clásica. Para un sistema descrito por coordenadas generalizadas $q_1(t), \ldots, q_n(t)$, la acción $S$ se define como la integral temporal de la Lagrangiana:

$$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q_1, \ldots, q_n, \dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n, t)\, dt$$

La Lagrangiana $L = T - V$ es la diferencia entre la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$ del sistema. El principio establece que la trayectoria física $q(t)$ que el sistema sigue entre $t_1$ y $t_2$ es aquella que hace estacionaria la acción: $\delta S = 0$.

Aplicando el cálculo variacional a la condición $\delta S = 0$, considerando variaciones $\delta q_j(t)$ que se anulan en los extremos, se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0, \qquad j = 1, 2, \ldots, n$$

Derivación. Sea $q_j(t, \varepsilon) = q_j(t) + \varepsilon \eta_j(t)$ con $\eta_j(t_1) = \eta_j(t_2) = 0$. La acción se convierte en función de $\varepsilon$: $S(\varepsilon)$. La condición de estacionariedad $\frac{dS}{d\varepsilon}\big|_{\varepsilon=0} = 0$ conduce a:

$$\int_{t_1}^{t_2} \sum_{j=1}^{n} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_j} \eta_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \dot{\eta}_j \right] dt = 0$$

Integrando por partes el segundo término y usando que $\eta_j$ se anula en los extremos, se obtiene $\int_{t_1}^{t_2} \sum_j \left[ \frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right] \eta_j(t)\, dt = 0$. Como las $\eta_j$ son arbitrarias, cada término entre corchetes debe anularse, obteniéndose las ecuaciones de Euler-Lagrange.

4.6 Formalismo Lagrangiano Aplicado al Oscilador Armónico

Para ilustrar el formalismo, apliquémoslo al oscilador armónico unidimensional. La energía cinética es $T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$ y la energía potencial es $V = \frac{1}{2}kx^2$, por lo que la Lagrangiana resulta:

$$L(x, \dot{x}) = T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2$$

Calculamos las derivadas necesarias para la ecuación de Euler-Lagrange con coordenada generalizada $q = x$:

\frac{\partial L}{\partial x} = -k x, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}, \qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = m\ddot{x}

La ecuación de Euler-Lagrange $\frac{d}{dt}\big(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\big) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0$ da:

$$m\ddot{x} + kx = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot{x} + \omega^2 x = 0$$

recuperando exactamente la ecuación del oscilador armónico simple. Esta coincidencia no es trivial: muestra que el formalismo Lagrangiano contiene a la mecánica Newtoniana como caso particular, pero con ventajas decisivas:

Invariancia ante cambios de coordenadas: las ecuaciones de Euler-Lagrange son covariantes bajo cualquier transformación de coordenadas generalizadas $q_j = q_j(Q_1, \ldots, Q_n)$, lo que simplifica enormemente sistemas con vínculos.
Cantidades conservadas: si $L$ no depende explícitamente de una coordenada $q_j$ (coordenada cíclica), el momento conjugado $p_j = \partial L/\partial \dot{q}_j$ se conserva (teorema de Noether en su versión más simple).
Puente a la mecánica cuántica: la formulación Lagrangiana, a través de la integral de camino de Feynman, proporciona la conexión directa entre la mecánica clásica y la cuántica.

Coordenadas generalizadas

En el péndulo simple de longitud $\ell$, la coordenada natural no es $x$ ni $y$ sino el ángulo $\theta$. Con $x = \ell\sin\theta$, $y = -\ell\cos\theta$, la Lagrangiana resulta $L = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta$, y la ecuación de Euler-Lagrange conduce a $\ddot{\theta} + (g/\ell)\sin\theta = 0$, la ecuación del péndulo (que para pequeñas amplitudes se linealiza al oscilador armónico).

El momento conjugado $p = \partial L/\partial \dot{x} = m\dot{x}$ es el momento lineal ordinario. La energía total, definida como $E = \dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$, se conserva porque $L$ no depende explícitamente del tiempo. Este resultado es un caso particular del teorema de Noether: la invariancia temporal implica conservación de la energía.

Del Lagrangiano al Hamiltoniano

La transformación de Legendre $H(q, p, t) = \sum_j p_j \dot{q}_j - L$ conduce al formalismo Hamiltoniano, donde las ecuaciones de movimiento son de primer orden: $\dot{q}_j = \partial H/\partial p_j$, $\dot{p}_j = -\partial H/\partial q_j$. Para el oscilador armónico, $H = p^2/(2m) + \frac{1}{2}kx^2$, dando $\dot{x} = p/m$, $\dot{p} = -kx$, que equivalen a la ecuación de segundo orden original. Este formalismo se aborda en detalle en el Capítulo 5.