Capítulo 1 — Variedades Diferenciables

Estructuras suaves y aplicaciones diferenciables entre variedades
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Definición de variedad diferenciable

Una variedad topológica de dimensión $n$ es un espacio topológico $M$ que satisface tres condiciones fundamentales. Primero, $M$ es Hausdorff: para todo par de puntos distintos $p, q \in M$, existen entornos abiertos disjuntos $U_p$ y $U_q$. Segundo, $M$ es segundo numerable: su topología admite una base numerable de abiertos. Tercero, $M$ es localmente euclídeo de dimensión $n$: para cada punto $p \in M$, existe un entorno abierto $U \subseteq M$ que contiene a $p$ y un homeomorfismo

$$\varphi: U \subset M \to \varphi(U) \subset \mathbb{R}^n$$ (1)

El par $(U, \varphi)$ se denomina carta o sistema coordenado local. Las funciones componentes $\varphi(p) = (x^1(p), \dots, x^n(p))$ se llaman coordenadas locales de $p$ en dicha carta.

Definición formal

Una variedad diferenciable de clase $C^\infty$ es un par $(M, \mathcal{A})$ donde $M$ es una variedad topológica de dimensión $n$ y $\mathcal{A}$ es un atlas diferenciable maximal (o estructura diferenciable) sobre $M$, cuyas funciones de transición son todas de clase $C^\infty$.

La exigencia de que el atlas sea maximal garantiza que la estructura diferenciable esté unívocamente determinada: dos atlas que generan el mismo atlas maximal definen la misma estructura diferenciable. En la práctica, basta con dar un atlas (no necesariamente maximal) cuyas funciones de transición sean $C^\infty$.

Precaución

Una misma variedad topológica $M$ puede admitir estructuras diferenciables distintas (no difeomorfas). El ejemplo clásico lo constituyen las esferas exóticas de Milnor: $S^7$ admite 28 estructuras diferenciables distintas. Para $n \neq 4$, toda variedad topológica de dimensión $n$ admite a lo sumo una cantidad finita de estructuras diferenciables, pero en dimensión 4 la situación es radicalmente distinta.

2. Cartas y atlas maximal

Dadas dos cartas $(U, \varphi)$ y $(V, \psi)$ en $M$ con $U \cap V \neq \emptyset$, la función de transición o cambio de cartas es el homeomorfismo

$$\psi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^n \to \psi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^n$$ (2)

Este mapeo relaciona las coordenadas de un mismo punto en dos sistemas coordenados distintos. Para que la variedad sea diferenciable, exigimos que todas las funciones de transición sean difeomorfismos de clase $C^\infty$ entre abiertos de $\mathbb{R}^n$.

$$\psi \circ \varphi^{-1} \in C^\infty\big(\varphi(U \cap V), \psi(U \cap V)\big)$$ (3)

Dos cartas $(U, \varphi)$ y $(V, \psi)$ se dicen $C^\infty$-compatibles si $U \cap V = \emptyset$, o bien si las funciones de transición $\psi \circ \varphi^{-1}$ y $\varphi \circ \psi^{-1}$ son de clase $C^\infty$ en sus respectivos dominios. Un atlas $\mathcal{A}$ sobre $M$ es una colección de cartas $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in I}$ tales que $M = \bigcup_{\alpha} U_\alpha$ y todas las cartas son $C^\infty$-compatibles entre sí.

Atlas maximal

El atlas maximal $\overline{\mathcal{A}}$ asociado a un atlas $\mathcal{A}$ se define como la colección de todas las cartas que son $C^\infty$-compatibles con cada carta de $\mathcal{A}$. Equivalentemente, $\overline{\mathcal{A}}$ es maximal respecto a la inclusión: si se añade cualquier otra carta compatible, esta ya pertenece a $\overline{\mathcal{A}}$. La estructura diferenciable sobre $M$ se identifica con su atlas maximal.

3. Estructura diferenciable

La estructura diferenciable de una variedad $M$ es la clase de equivalencia de atlas $C^\infty$-compatibles. Dos atlas son equivalentes si su unión es nuevamente un atlas $C^\infty$. La estructura diferenciable está completamente determinada por su atlas maximal.

El concepto de variedad suave (o $C^\infty$) captura la idea de un espacio que localmente se comporta como $\mathbb{R}^n$ y cuyas transiciones entre cartas son infinitamente diferenciables. Esto permite extender a las variedades todo el cálculo diferencial de $\mathbb{R}^n$: derivadas parciales, regla de la cadena, teorema de la función inversa, etc.

Resultado clave

Dada una variedad topológica $M$ y un atlas $\mathcal{A}$ cuyas funciones de transición son $C^\infty$, el atlas maximal $\overline{\mathcal{A}}$ existe y es único. Por tanto, para definir una estructura diferenciable sobre $M$ basta con exhibir un atlas cuyas cartas cubran $M$ y cuyas transiciones sean suaves.

En la práctica, la mayoría de las variedades de interés se construyen como subvariedades de $\mathbb{R}^N$ (teorema de Whitney) o como cocientes de variedades conocidas por acciones propiamente discontinuas de grupos de Lie. La estructura diferenciable se hereda de manera natural en estos casos.

$$M \text{ es suave } \iff \text{ todas las transiciones } \psi \circ \varphi^{-1} \text{ son } C^\infty$$ (4)

4. Ejemplos canónicos

$\mathbb{R}^n$. El ejemplo más elemental. La carta identidad $(\mathbb{R}^n, \mathrm{id})$ constituye por sí sola un atlas $C^\infty$. Su atlas maximal contiene todas las cartas $(U, \varphi)$ donde $\varphi$ es un difeomorfismo de $U$ sobre un abierto de $\mathbb{R}^n$.

La esfera $S^n$. La esfera unitaria $n$-dimensional se define como

$$S^n = \{\, x = (x^1, \dots, x^{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \|x\|^2 = (x^1)^2 + \cdots + (x^{n+1})^2 = 1 \,\}$$ (5)

Un atlas estándar para $S^n$ se construye mediante las proyecciones estereográficas $\sigma_N$ (desde el polo norte) y $\sigma_S$ (desde el polo sur), que proporcionan dos cartas cuyas transiciones son $C^\infty$. La esfera $S^n$ es un ejemplo fundamental de variedad compacta y orientable.

El espacio proyectivo real $\mathbb{RP}^n$. Se define como el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en $\mathbb{R}^{n+1}$:

$$\mathbb{RP}^n = (\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}) / \sim, \quad x \sim \lambda x \;\; \forall \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ (6)

Un punto en $\mathbb{RP}^n$ se denota por sus coordenadas homogéneas $[x^1 : \cdots : x^{n+1}]$. La variedad $\mathbb{RP}^n$ se cubre con $n+1$ cartas afines $U_i = \{[x] \mid x^i \neq 0\}$ y tiene dimensión $n$. Para $n$ par, $\mathbb{RP}^n$ es no orientable.

El toro $T^n$. El toro $n$-dimensional se obtiene como el producto cartesiano de $n$ copias del círculo:

$$T^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_{n \text{ veces}}$$ (7)

Alternativamente, $T^n \cong \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$, el cociente de $\mathbb{R}^n$ por el retículo entero, con la estructura diferenciable heredada de la proyección cociente.

Grupos de Lie matriciales. El grupo general lineal

$$\mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) = \{\, A \in M(n \times n, \mathbb{R}) \mid \det(A) \neq 0 \,\}$$ (8)

es un abierto de $M(n \times n, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{n^2}$, por lo que hereda una estructura diferenciable de dimensión $n^2$. El grupo especial ortogonal

$$\mathrm{SO}(n) = \{\, A \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}} A = I,\; \det(A) = 1 \,\}$$ (9)

es una subvariedad de $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ de dimensión $n(n-1)/2$, y constituye un ejemplo de grupo de Lie compacto. Otros grupos de Lie clásicos incluyen $\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})$, $\mathrm{O}(n)$, $\mathrm{U}(n)$ y $\mathrm{SU}(n)$.

Resumen de ejemplos

  • $\mathbb{R}^n$ — dimensión $n$, no compacto, orientable
  • $S^n$ — dimensión $n$, compacto, orientable
  • $\mathbb{RP}^n$ — dimensión $n$, compacto, orientable solo si $n$ impar
  • $T^n$ — dimensión $n$, compacto, orientable
  • $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ — dimensión $n^2$, no compacto, orientable
  • $\mathrm{SO}(n)$ — dimensión $n(n-1)/2$, compacto, orientable

5. Funciones diferenciables en variedades

Sean $M$ y $N$ variedades diferenciables de dimensiones $m$ y $n$ respectivamente. Una función $f: M \to N$ es diferenciable (de clase $C^\infty$) en un punto $p \in M$ si existen cartas $(U, \varphi)$ en $M$ alrededor de $p$ y $(V, \psi)$ en $N$ alrededor de $f(p)$ tales que la representación coordenada de $f$

$$\hat{f} = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap f^{-1}(V)) \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$$ (10)

es de clase $C^\infty$ como función entre abiertos euclídeos. La noción de diferenciabilidad es independiente de las cartas elegidas: si la representación es $C^\infty$ para un par de cartas, lo será para cualquier otro par de cartas compatibles con el atlas.

Cuando $N = \mathbb{R}$ (con su estructura diferenciable usual), el espacio $C^\infty(M)$ de funciones suaves a valores reales forma un álgebra conmutativa sobre $\mathbb{R}$ con la suma y el producto puntuales. Este álgebra contiene toda la información sobre la estructura diferenciable de $M$.

Importante

La diferenciabilidad de una función $f: M \to N$ se define localmente mediante cartas. Para verificar que $f$ es $C^\infty$ en todo $M$, basta comprobar que su representación coordenada es $C^\infty$ para cada carta de un atlas que cubra $M$. No es necesario verificar todas las cartas del atlas maximal.

El pullback de una función $g \in C^\infty(N)$ por $f: M \to N$ se define como $f^* g = g \circ f \in C^\infty(M)$. La operación de pullback es un homomorfismo de álgebras $f^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M)$ que resulta fundamental en el estudio de las propiedades geométricas de las aplicaciones entre variedades.

6. Difeomorfismos

Un difeomorfismo entre dos variedades diferenciables $M$ y $N$ es una aplicación $F: M \to N$ biyectiva, de clase $C^\infty$, cuya inversa $F^{-1}: N \to M$ también es de clase $C^\infty$. La existencia de un difeomorfismo $F: M \to N$ establece una relación de equivalencia entre variedades; en tal caso, $M$ y $N$ se consideran indistinguibles desde el punto de vista del cálculo diferencial.

La condición de difeomorfismo es mucho más fuerte que la de homeomorfismo. Un homeomorfismo solo preserva la topología, mientras que un difeomorfismo preserva toda la estructura diferenciable. Por ejemplo, existen variedades topológicas que son homeomorfas a $\mathbb{R}^4$ pero que admiten infinitas estructuras diferenciables distintas (los $\mathbb{R}^4$ exóticos).

Propiedades fundamentales

  • La composición de difeomorfismos es un difeomorfismo.
  • La identidad $\mathrm{id}_M: M \to M$ es un difeomorfismo.
  • Si $F: M \to N$ es un difeomorfismo, entonces $\dim M = \dim N$.
  • Dos variedades difeomorfas tienen las mismas propiedades diferenciales (orientabilidad, paralelizabilidad, etc.).

Un concepto relacionado es el de difeomorfismo local: una función $F: M \to N$ es un difeomorfismo local en $p \in M$ si existe un entorno $U$ de $p$ tal que $F|_U: U \to F(U)$ es un difeomorfismo sobre su imagen. Por el teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$, $F$ es un difeomorfismo local en $p$ si y solo si su diferencial $F_{*,p}: T_pM \to T_{F(p)}N$ es un isomorfismo lineal, concepto que desarrollaremos en profundidad en el capítulo siguiente.

El teorema de la función inversa en variedades establece que si $F: M \to N$ es $C^\infty$ y $F_{*,p}$ es un isomorfismo, entonces $F$ es un difeomorfismo local en $p$. La demostración se reduce al caso euclídeo mediante cartas locales.

$$F: M \to N \text{ es difeomorfismo } \iff F \text{ es biyectiva, } C^\infty \text{, y } F^{-1} \text{ es } C^\infty$$ (11)

Cuestionario

1. ¿Cuál de las siguientes condiciones NO forma parte de la definición de una variedad topológica $n$-dimensional?

2. Un atlas diferenciable de clase $C^\infty$ sobre una variedad topológica $M$ es:

3. Dos cartas $(U, \varphi)$ y $(V, \psi)$ en una variedad $M$ se dicen $C^\infty$-compatibles si:

4. ¿Cuál es la dimensión de la esfera $S^n$ como variedad diferenciable?

5. El espacio proyectivo real $\mathbb{RP}^n$ se define como:

6. Una función $f: M \to \mathbb{R}$ se dice diferenciable ($C^\infty$) en una variedad $M$ si:

7. El grupo general lineal $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ como variedad diferenciable tiene dimensión:

8. Un difeomorfismo $F: M \to N$ entre variedades es:

9. El atlas maximal (o estructura diferenciable) de una variedad contiene:

10. ¿Cuál de los siguientes conjuntos NO es un ejemplo de variedad diferenciable?