Capítulo 4 — Formas Diferenciales | Geometría Diferencial

1. $k$-Formas Diferenciales

Una $k$-forma diferencial (o forma de grado $k$) sobre una variedad $M$ es un campo tensorial covariante de tipo $(0,k)$ completamente antisimétrico. Equivalentemente, es una sección suave del $k$-ésimo producto exterior del fibrado cotangente:

$$\Omega^k(M) = \Gamma\left(\bigwedge\nolimits^k T^*M\right)$$

En coordenadas locales $(x^1,\dots,x^n)$, una $k$-forma $\omega$ se expresa como:

$$\omega = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \omega_{i_1 \dots i_k}(x)\; dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$$

donde las funciones componentes $\omega_{i_1 \dots i_k}$ son totalmente antisimétricas en sus $k$ índices.

Dimensión del espacio de $k$-formas

Para una variedad de dimensión $n$, $\dim \Omega^k(M) = \binom{n}{k}$ como $C^\infty(M)$-módulo. En particular, $\Omega^0(M) = C^\infty(M)$ son las funciones suaves, $\Omega^1(M)$ son las 1-formas, $\Omega^n(M)$ tiene dimensión 1 (formas de volumen), y $\Omega^k(M) = 0$ si $k > n$.

Antisimetría

La antisimetría es la propiedad definitoria: para una $k$-forma $\omega$, $$\omega(\dots, X_i, \dots, X_j, \dots) = -\omega(\dots, X_j, \dots, X_i, \dots)$$ para cualquier intercambio de dos argumentos. En componentes, $\omega_{i_1\dots i_p\dots i_q\dots i_k} = -\omega_{i_1\dots i_q\dots i_p\dots i_k}$.

2. Producto Exterior $\wedge$

El producto exterior (o producto cuña) es una operación bilineal $$\wedge: \Omega^p(M) \times \Omega^q(M) \longrightarrow \Omega^{p+q}(M)$$ que asigna a una $p$-forma $\alpha$ y una $q$-forma $\beta$ una $(p+q)$-forma $\alpha \wedge \beta$.

En coordenadas, la base canónica de $\Omega^k(M)$ está formada por los productos exteriores de las diferenciales básicas:

$$dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}, \qquad 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n$$

La propiedad fundamental del producto exterior es la antisimetría graduada:

$$\alpha \wedge \beta = (-1)^{pq}\, \beta \wedge \alpha, \qquad \alpha \in \Omega^p(M),\ \beta \in \Omega^q(M)$$

Propiedades del producto exterior

Asociatividad: $(\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma)$.
Distributividad: $\alpha \wedge (\beta + \gamma) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \gamma$.
Anticonmutatividad graduada: $\alpha \wedge \beta = (-1)^{pq} \beta \wedge \alpha$.
Para una 1-forma $\alpha$, $\alpha \wedge \alpha = 0$ (por antisimetría).

El producto exterior permite construir el álgebra exterior (o álgebra de Grassmann) sobre $M$:

$$\Omega^\bullet(M) = \bigoplus_{k=0}^n \Omega^k(M)$$

Esta álgebra graduada es asociativa y graduada-conmutativa (en el sentido de la signatura $(-1)^{pq}$), y constituye el marco algebraico natural para el cálculo diferencial sobre variedades.

$$(dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}) \wedge (dx^{j_1} \wedge \cdots \wedge dx^{j_q}) = dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p} \wedge dx^{j_1} \wedge \cdots \wedge dx^{j_q}$$

3. Derivada Exterior

La derivada exterior es un operador diferencial de grado $+1$: $$d: \Omega^k(M) \longrightarrow \Omega^{k+1}(M)$$ que generaliza la diferencial de funciones a formas de grado arbitrario.

Para una $k$-forma $\omega = \sum \omega_{i_1\dots i_k} dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$ en coordenadas locales:

$$d\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \sum_{j=1}^n \frac{\partial \omega_{i_1 \dots i_k}}{\partial x^j}\; dx^j \wedge dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$$

Equivalentemente, usando la derivada covariante asociada a cualquier conexión simétrica (no depende de la elección):

$$(d\omega)_{\mu_0 \mu_1 \dots \mu_k} = (k+1)\, \partial_{[\mu_0} \omega_{\mu_1 \dots \mu_k]}$$

donde los corchetes $[\cdots]$ denotan antisimetrización completa.

Propiedades fundamentales de $d$

$d$ es $\mathbb{R}$-lineal: $d(a\alpha + b\beta) = a\,d\alpha + b\,d\beta$ para $a,b \in \mathbb{R}$.
Nilpotencia: $d^2 = d \circ d = 0$. Esta es la propiedad más profunda.
Regla de Leibniz graduada: $d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^p \alpha \wedge d\beta$, donde $p = \deg(\alpha)$.
Sobre funciones ($0$-formas), $df$ coincide con la diferencial usual.

La propiedad $d^2 = 0$ es equivalente a la igualdad de las derivadas parciales cruzadas $\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i$ en un sistema coordenado. En términos intrínsecos, refleja que el operador $d$ es un complejo de co-cadenas:

$$0 \longrightarrow \Omega^0(M) \overset{d}{\longrightarrow} \Omega^1(M) \overset{d}{\longrightarrow} \Omega^2(M) \overset{d}{\longrightarrow} \cdots \overset{d}{\longrightarrow} \Omega^n(M) \longrightarrow 0$$

Este complejo, conocido como el complejo de de Rham, es la herramienta central para conectar el cálculo diferencial con la topología de la variedad.

$d^2 = 0$ no es trivial

En coordenadas curvilíneas, donde los operadores $\partial_i$ no conmutan necesariamente como derivadas sobre tensores, la antisimetría del producto exterior cancela exactamente los términos que involucran símbolos de Christoffel, garantizando $d^2 = 0$. Esto hace que $d$ sea un operador puramente diferencial-topológico, independiente de cualquier estructura métrica o de conexión.

4. Lema de Poincaré y Cohomología de de Rham

Una $k$-forma $\omega$ se dice cerrada si $d\omega = 0$, y exacta si existe una $(k-1)$-forma $\eta$ tal que $\omega = d\eta$. Toda forma exacta es cerrada pues $d^2 = 0$, pero el recíproco no es globalmente cierto.

Lema de Poincaré

En cualquier región contractible (en particular, en cualquier abierto estrellado o en una bola coordenada), toda forma cerrada es exacta. Es decir, si $d\omega = 0$ en un dominio contractible $U$, existe $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ tal que $\omega = d\eta$.

La obstrucción global para que las formas cerradas sean exactas se mide mediante los grupos de cohomología de de Rham:

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M) = \frac{\ker\big(d: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)\big)}{\operatorname{im}\big(d: \Omega^{k-1}(M) \to \Omega^k(M)\big)} = \frac{\{\text{formas cerradas}\}}{\{\text{formas exactas}\}}$$

El teorema de de Rham establece un isomorfismo entre estos grupos y los grupos de cohomología singular con coeficientes reales, vinculando así la estructura diferencial con la topología de $M$:

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M) \cong H^k_{\mathrm{sing}}(M; \mathbb{R})$$

Ejemplos de cohomología de de Rham

$H^0_{\mathrm{dR}}(M) \cong \mathbb{R}^c$, donde $c$ es el número de componentes conexas de $M$.
$H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2) = 0$, $H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) \cong \mathbb{R}$.
$H^k_{\mathrm{dR}}(S^n) \cong \mathbb{R}$ para $k = 0, n$, y $0$ en cualquier otro caso.

Los números de Betti $b_k(M) = \dim_{\mathbb{R}} H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ son invariantes topológicos que caracterizan parcialmente la variedad. La característica de Euler se recupera como la suma alternada: $$\chi(M) = \sum_{k=0}^n (-1)^k b_k(M).$$

Formas cerradas no exactas

El ejemplo paradigmático es la 1-forma en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$: $$\omega = \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2}$$ Es cerrada ($d\omega = 0$) pero no exacta: su integral sobre cualquier curva cerrada que encierre el origen es $2\pi$, no cero, lo que violaría el teorema fundamental del cálculo si existiera $f$ tal que $df = \omega$.

5. Pullback de Formas Diferenciales

Dado un mapa suave $f: M \to N$ entre variedades, existe un operador lineal de pullback (o retroceso) $$f^*: \Omega^k(N) \longrightarrow \Omega^k(M)$$ que «tira hacia atrás» las formas diferenciales desde $N$ hacia $M$.

Para una $0$-forma (función) $g \in C^\infty(N)$, $f^*g = g \circ f$. Para una $1$-forma $\omega$, el pullback se define usando el diferencial $df_p: T_pM \to T_{f(p)}N$ como $$(f^*\omega)_p(v_1, \dots, v_k) = \omega_{f(p)}(df_p(v_1), \dots, df_p(v_k)).$$

$$f^*(dx^j) = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f^j}{\partial x^i}\, dx^i, \qquad f^*\left(\sum \omega_{j_1\dots j_k} dy^{j_1} \wedge \cdots \wedge dy^{j_k}\right) = \sum (\omega_{j_1\dots j_k} \circ f)\; df^{j_1} \wedge \cdots \wedge df^{j_k}$$

El pullback posee dos propiedades fundamentales que lo convierten en un morfismo de complejos de de Rham:

$$f^*(\alpha \wedge \beta) = f^*\alpha \wedge f^*\beta, \qquad f^*(d\omega) = d(f^*\omega)$$

Naturalidad del pullback

La propiedad $f^* \circ d = d \circ f^*$ significa que el pullback conmuta con la derivada exterior. Esto implica que $f^*$ envía formas cerradas en formas cerradas y formas exactas en formas exactas, induciendo un homomorfismo en cohomología $f^*: H^k_{\mathrm{dR}}(N) \to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$. Esta naturalidad es la clave para demostrar que los grupos de cohomología de de Rham son invariantes topológicos.

En coordenadas locales, el pullback se implementa mediante la regla de sustitución: si $y^j = f^j(x^1,\dots,x^m)$, entonces $f^*(dy^{j}) = df^{j} = \sum_i (\partial f^j/\partial x^i)\, dx^i$. Para formas de grado superior, se reemplaza cada diferencial y se aplica el producto exterior.

Ejemplo: pullback de la forma de área en $\mathbb{R}^2$

Sea $f(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ de coordenadas polares a cartesianas. Entonces $$f^*(dx \wedge dy) = d(r\cos\theta) \wedge d(r\sin\theta) = r\,dr \wedge d\theta,$$ recuperando el factor jacobiano $r$ del elemento de área en polares.

6. Integración de $k$-Formas y el Teorema de Stokes Generalizado

Una $k$-forma diferencial se integra naturalmente sobre $k$-cadenas (subvariedades orientadas de dimensión $k$). En una carta coordenada, si la forma se escribe como $\omega = f(x)\, dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^k$, su integral es:

$$\int_U \omega = \int_{U} f(x^1,\dots,x^k)\; dx^1 \cdots dx^k$$

donde la integral del lado derecho es la integral de Riemann (o Lebesgue) usual en $\mathbb{R}^k$. La independencia del sistema coordenado está garantizada por la ley de transformación de formas diferenciales, que incluye precisamente el determinante jacobiano correcto.

Orientación

La integración de formas requiere que la variedad (o cadena) esté orientada. Bajo un cambio de coordenadas que preserva la orientación ($\det J > 0$), la integral es invariante. Un cambio que invierte la orientación cambia el signo de la integral. La partición de la unidad permite integrar sobre toda la variedad.

La culminación del cálculo con formas diferenciales es el Teorema de Stokes Generalizado, que unifica todos los teoremas clásicos del cálculo vectorial:

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$$

donde $M$ es una variedad orientada compacta de dimensión $n$ con borde $\partial M$ (posiblemente vacío), $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$, y $\partial M$ hereda la orientación inducida por la normal exterior.

Casos particulares del Teorema de Stokes

$n=1$: Teorema Fundamental del Cálculo: $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$.
$n=2$: Teorema de Green: $\iint_D (\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y)\,dx\,dy = \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy$.
$n=3$: Teorema clásico de Stokes (rotor) y Teorema de la Divergencia (Gauss).
$n=4$: Ley de conservación en relatividad general: $\int_M \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$.

En el lenguaje de formas, las identidades del cálculo vectorial se traducen elegantemente:

$$\operatorname{grad} \leftrightarrow d:\Omega^0 \to \Omega^1, \quad \operatorname{rot} \leftrightarrow d:\Omega^1 \to \Omega^2, \quad \operatorname{div} \leftrightarrow d:\Omega^2 \to \Omega^3$$

Las identidades $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = 0$ y $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{F}) = 0$ son ambas consecuencias inmediatas de $d^2 = 0$.

El borde de un borde es vacío