Capítulo 8 — Formas de Cartan | Geometría Diferencial

8.1 Base Ortonormal Móvil (Repère Mobile)

El formalismo de Cartan, también conocido como método del repère mobile (marco de referencia móvil), fue desarrollado por Élie Cartan a principios del siglo XX. En lugar de trabajar con campos coordenados $\partial_i$ y sus duales $dx^i$, se introduce un campo de bases ortonormales $\{e_1, \dots, e_n\}$ definidas localmente sobre la variedad $M$, y su co-base dual $\{\theta^1, \dots, \theta^n\}$ de 1-formas.

La co-base $\theta^i$ satisface la relación de dualidad fundamental:

$$\theta^i(e_j) = \delta^i_j$$

La métrica riemanniana $g$ se expresa de manera particularmente simple en términos de la co-base ortonormal:

$$g = \sum_{i=1}^{n} \theta^i \otimes \theta^i = \delta_{ij} \, \theta^i \otimes \theta^j$$

A diferencia de los campos coordenados $\partial_i$, los campos $e_i$ no conmutan en general: su corchete de Lie $[e_i, e_j]$ es una combinación lineal de los $e_k$. En el formalismo de Cartan, la información sobre la no-conmutatividad se codifica en las 1-formas de conexión.

Ventaja del repère mobile: Las bases ortonormales se adaptan naturalmente a las simetrías del problema. Por ejemplo, para una métrica esféricamente simétrica, el repère móvil puede elegirse de modo que herede la simetría rotacional, simplificando drásticamente los cálculos de curvatura.

8.2 Formas de Conexión de Cartan

La derivada covariante de los campos $e_i$ del repère móvil define una matriz de 1-formas $\omega^i_j$, denominadas formas de conexión de Cartan, mediante la relación:

$$\nabla e_i = \omega^j_i \otimes e_j$$

Equivalentemente, para todo campo vectorial $X \in \mathfrak{X}(M)$:

$$\nabla_X e_i = \omega^j_i(X) \, e_j$$

Las formas $\omega^i_j$ son 1-formas diferenciales (con valores en el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(n)$ para una base ortonormal). Para la conexión de Levi-Civita, la compatibilidad con la métrica impone la condición de antisimetría:

$$\omega^i_j = -\omega^j_i$$

En un abierto coordenado, las formas de conexión se relacionan con los símbolos de Christoffel mediante $\omega^i_j = \Gamma^i_{jk} \theta^k$. Sin embargo, la potencia del formalismo de Cartan reside en que las $\omega^i_j$ pueden determinarse directamente a partir de las $\theta^i$ sin necesidad de calcular los $\Gamma^i_{jk}$.

Observación: Las formas $\omega^i_j$ no son tensoriales: bajo un cambio de base ortonormal $e'_i = A^j_i e_j$ con $A \in SO(n)$, las formas de conexión se transforman como $\omega' = A\omega A^{-1} + A\, dA^{-1}$, es decir, como una conexión de gauge no abeliana.

8.3 Primera Ecuación de Estructura de Cartan

La primera ecuación de estructura relaciona la derivada exterior de la co-base con las formas de conexión. Para una conexión sin torsión (como la de Levi-Civita), establece:

$$d\theta^i + \omega^i_j \wedge \theta^j = 0$$

Esta ecuación codifica dos piezas de información: (i) la condición de torsión nula $\Theta^i = 0$, donde la 2-forma de torsión se define como $\Theta^i = d\theta^i + \omega^i_j \wedge \theta^j$; y (ii) proporciona un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para determinar las $\omega^i_j$ en términos de las $\theta^i$ y sus derivadas exteriores.

Combinada con la condición de antisimetría $\omega^i_j = -\omega^j_i$, la primera ecuación de estructura determina unívocamente las formas de conexión de la conexión de Levi-Civita. Este es el análogo, en el formalismo de Cartan, del teorema fundamental de la geometría riemanniana.

Estrategia de cálculo: Dada una co-base ortonormal $\theta^i$, se calculan las derivadas exteriores $d\theta^i$. Luego se plantea el Ansatz $\omega^i_j = f^i_{jk} \theta^k$ con $f^i_{jk} = -f^j_{ik}$, y se usa $d\theta^i + \omega^i_j \wedge \theta^j = 0$ para determinar los coeficientes $f^i_{jk}$.

8.4 Segunda Ecuación de Estructura de Cartan

La segunda ecuación de estructura define la 2-forma de curvatura $\Omega^i_j$ en términos de las formas de conexión:

$$\Omega^i_j = d\omega^i_j + \omega^i_k \wedge \omega^k_j$$

Esta es la ecuación análoga a la definición de curvatura en teoría de gauge: $F = dA + A \wedge A$. La 2-forma $\Omega^i_j$ se expande en la base $\{\theta^k \wedge \theta^\ell\}$ para obtener las componentes del tensor de curvatura de Riemann:

$$\Omega^i_j = \frac{1}{2} R^i_{jkl} \, \theta^k \wedge \theta^\ell$$

Los coeficientes $R^i_{jkl}$ son precisamente las componentes del tensor de Riemann en la base ortonormal $\{e_i\}$. La curvatura escalar y la curvatura de Ricci se obtienen por contracción: $R_{jl} = R^i_{jil}$ y $R = \delta^{jl} R_{jl}$.

La identidad de Bianchi adopta una forma particularmente elegante en el formalismo de Cartan:

$$d\Omega^i_j + \omega^i_k \wedge \Omega^k_j - \Omega^i_k \wedge \omega^k_j = 0$$

Relación con teoría de gauge: Las ecuaciones de estructura de Cartan son formalmente idénticas a las ecuaciones de Yang–Mills en teorías de gauge no abelianas, donde $\omega$ juega el papel del potencial gauge, $\Omega$ el de la intensidad de campo, y la identidad de Bianchi expresa la identidad de Jacobi para la derivada covariante gauge.

8.5 Ventajas del Formalismo de Cartan

El formalismo de Cartan ofrece ventajas decisivas frente al formalismo tensorial en coordenadas:

1. Eficiencia computacional. Para calcular la curvatura, no es necesario calcular todos los símbolos de Christoffel $\Gamma^i_{jk}$ (que son $n^2(n+1)/2$ funciones). En el formalismo de Cartan, basta calcular las $n(n-1)/2$ 1-formas de conexión $\omega^i_j$, y luego sus derivadas exteriores. El número de componentes independientes se reduce considerablemente.

2. Adaptación a simetrías. Las bases ortonormales pueden elegirse de modo que reflejen las simetrías del problema (esférica, hiperbólica, etc.), lo que simplifica los cálculos. En relatividad general, la elección de una tétrada nula (formalismo de Newman–Penrose) es un ejemplo de cómo la adaptación del repère móvil permite resolver problemas que serían intratables en coordenadas.

3. Claridad conceptual. Las ecuaciones de estructura separan nítidamente la información métrica (codificada en las $\theta^i$) de la información de conexión y curvatura (codificada en las $\omega^i_j$ y $\Omega^i_j$). Esto revela que la curvatura es una propiedad de la conexión, no de la métrica per se.

4. Invariancia de gauge explícita. El formalismo hace manifiesta la libertad de elegir diferentes bases ortonormales en cada punto. Las transformaciones de gauge $SO(n)$ actúan sobre las formas $\theta^i$, $\omega^i_j$ y $\Omega^i_j$ de manera covariante, lo que conecta naturalmente la geometría riemanniana con la teoría de fibrados principales.

8.6 Aplicación: Cálculo de Curvatura de $S^n$ y $H^n$

Ilustramos la potencia del formalismo de Cartan calculando la curvatura de los espacios de curvatura constante: la esfera $S^n$ y el espacio hiperbólico $H^n$.

Esfera $S^n$

Consideremos $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ con la métrica inducida. En coordenadas esféricas generalizadas, una co-base ortonormal es:

$$\theta^1 = d\rho, \quad \theta^\alpha = \sin\rho \, \tilde{\theta}^\alpha \quad (\alpha = 2, \dots, n)$$

donde $\tilde{\theta}^\alpha$ es una co-base ortonormal de $S^{n-1}$. Usando la primera ecuación de estructura se obtienen las formas de conexión $\omega^1_\alpha = \cos\rho \, \tilde{\theta}^\alpha$, y $\omega^\alpha_\beta = \tilde{\omega}^\alpha_\beta$. La segunda ecuación de estructura produce la 2-forma de curvatura:

$$\Omega^i_j = \theta^i \wedge \theta^j$$

De donde $R^i_{jkl} = \delta^i_k \delta_{jl} - \delta^i_l \delta_{jk}$, y la curvatura escalar es $R = n(n-1)$. La esfera $S^n$ de radio $r$ tiene curvatura seccional constante $K = 1/r^2$.

Espacio hiperbólico $H^n$

Para $H^n$ con curvatura seccional $K = -1$, una co-base ortonormal en el modelo de la bola de Poincaré es $\theta^i = \frac{2}{1 - \|x\|^2} dx^i$, con métrica $g = \frac{4}{(1 - \|x\|^2)^2} \sum (dx^i)^2$. Las formas de conexión resultan $\omega^i_j = \frac{2}{1 - \|x\|^2} (x^i dx^j - x^j dx^i)$, y la curvatura:

$$\Omega^i_j = -\theta^i \wedge \theta^j$$

El signo negativo refleja la curvatura negativa de $H^n$. En ambos casos, la simplicidad de las expresiones $\Omega^i_j = \pm \theta^i \wedge \theta^j$ es una consecuencia de que $S^n$ y $H^n$ son espacios simétricos de rango uno, donde la curvatura es covariante constante.

Generalización: Los espacios de curvatura constante (esféricos, euclídeos e hiperbólicos) son los únicos espacios riemannianos completos y simplemente conexos con curvatura seccional constante, resultado conocido como el Teorema de Killing–Hopf. Constituyen los bloques fundamentales a partir de los cuales se construyen todas las variedades de curvatura constante mediante cocientes por grupos discretos de isometrías.