Capítulo 7 — Geodésicas y Transporte Paralelo

7.1 Definición de Geodésica

Intuitivamente, una geodésica es la generalización de una línea recta a una variedad con conexión. En el espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$, una recta se caracteriza por tener aceleración nula: su vector velocidad es constante. En una variedad diferenciable $M$ dotada de una conexión afín $\nabla$, la condición análoga es que la derivada covariante del vector tangente a lo largo de la curva sea cero.

$$\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} = 0$$

Una curva suave $\gamma: I \to M$ se dice geodésica si su campo vectorial tangente $\dot{\gamma}$ es transportado paralelamente a lo largo de $\gamma$. Equivalentemente, la aceleración covariante de la curva es idénticamente nula. Esta definición no requiere una métrica; sólo depende de la conexión $\nabla$.

Nota histórica: El término «geodésica» proviene del griego geōdaisía (división de la tierra), y originalmente designaba el camino más corto sobre la superficie terrestre. En geometría diferencial, las geodésicas son las curvas que generalizan este concepto a variedades riemannianas arbitrarias, donde localmente minimizan la distancia.

Si la conexión $\nabla$ es la conexión de Levi-Civita asociada a una métrica riemanniana $g$, toda geodésica tiene rapidez constante, pues:

$$\frac{d}{dt} g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma}) = 2g(\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma}, \dot{\gamma}) = 0$$

7.2 Ecuación Geodésica en Coordenadas

En una carta local $(U, x^1, \dots, x^n)$, una geodésica $\gamma(t) = (x^1(t), \dots, x^n(t))$ debe satisfacer un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Expandiendo $\dot{\gamma} = \dot{x}^i \partial_i$ y aplicando la regla de Leibniz covariante, obtenemos la ecuación geodésica:

$$\ddot{x}^i + \Gamma^i_{jk} \dot{x}^j \dot{x}^k = 0, \qquad i = 1, \dots, n$$

donde $\Gamma^i_{jk}$ son los símbolos de Christoffel de la conexión. Este es un sistema de $n$ EDOs de segundo orden no lineales. Por el teorema de existencia y unicidad de Picard–Lindelöf, dados un punto $p \in M$ y un vector tangente $v \in T_p M$, existe una única geodésica maximal $\gamma_v$ tal que $\gamma_v(0) = p$ y $\dot{\gamma}_v(0) = v$.

Atención: Aunque en $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclídea los símbolos de Christoffel son idénticamente nulos y las geodésicas son rectas, en una variedad general las ecuaciones son no lineales y las soluciones pueden tener dominio finito (geodésicas incompletas).

Los símbolos de Christoffel se expresan en términos de la métrica como:

$$\Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{i\ell} \left( \partial_j g_{k\ell} + \partial_k g_{j\ell} - \partial_\ell g_{jk} \right)$$

Esta fórmula muestra que la ecuación geodésica está completamente determinada por la métrica $g$ y sus primeras derivadas.

7.3 Propiedades de las Geodésicas

Las geodésicas poseen propiedades fundamentales que las convierten en objetos centrales de la geometría riemanniana.

Minimización local de la distancia. En una variedad riemanniana $(M, g)$, toda geodésica minimiza localmente la distancia: para puntos suficientemente cercanos sobre una geodésica, la longitud de arco del segmento geodésico es menor o igual que la de cualquier otra curva que los una. La distancia riemanniana se define como:

$$d(p, q) = \inf \left\{ L(\gamma) : \gamma \text{ curva } C^1 \text{ a trozos uniendo } p \text{ y } q \right\}$$

donde $L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma})} \, dt$ es la longitud de arco.

Dependencia suave de condiciones iniciales. El flujo geodésico define una aplicación $\exp_p: \mathcal{U} \subset T_p M \to M$ llamada aplicación exponencial, dada por $\exp_p(v) = \gamma_v(1)$, donde $\gamma_v$ es la geodésica con velocidad inicial $v$. La aplicación exponencial es un difeomorfismo local en un entorno del origen de $T_p M$, lo que proporciona un sistema de coordenadas privilegiado: las coordenadas normales.

$$\exp_p: T_p M \to M, \qquad \exp_p(v) = \gamma_v(1)$$

Resultado clave: En coordenadas normales centradas en $p$, los símbolos de Christoffel se anulan en $p$ ($\Gamma^i_{jk}(p) = 0$), y la métrica coincide con la euclídea hasta primer orden: $g_{ij}(p) = \delta_{ij}$, $\partial_k g_{ij}(p) = 0$. Esto es el análogo geométrico del principio de equivalencia en relatividad general.

7.4 Transporte Paralelo

Dado un campo vectorial $X$ definido a lo largo de una curva $\gamma$, decimos que $X$ es transportado paralelamente a lo largo de $\gamma$ si su derivada covariante en la dirección del vector tangente es nula:

$$\nabla_{\dot{\gamma}} X = 0$$

En coordenadas locales, con $X(t) = X^i(t) \partial_i|_{\gamma(t)}$, esta ecuación se escribe:

$$\frac{dX^i}{dt} + \Gamma^i_{jk} \dot{x}^j X^k = 0$$

Esta es una EDO lineal de primer orden para las componentes $X^i(t)$. Dado un valor inicial $X(0) \in T_{\gamma(0)} M$, existe una única solución definida en todo el dominio de $\gamma$. Esto define un isomorfismo lineal, denominado transporte paralelo:

$$P^\gamma_{t}: T_{\gamma(0)} M \to T_{\gamma(t)} M, \qquad P^\gamma_t(v) = X(t) \text{ donde } \nabla_{\dot{\gamma}} X = 0,\; X(0) = v$$

Una propiedad fundamental de la conexión de Levi-Civita es que el transporte paralelo preserva el producto interno:

$$g_{\gamma(t)}\big(P^\gamma_t(v), P^\gamma_t(w)\big) = g_{\gamma(0)}(v, w), \qquad \forall v, w \in T_{\gamma(0)} M$$

En consecuencia, el transporte paralelo es una isometría entre espacios tangentes. Esto implica que los ángulos y las longitudes de vectores se preservan bajo transporte paralelo en una variedad riemanniana.

Interpretación física: En relatividad general, el transporte paralelo a lo largo de una curva temporal describe cómo un giróscopo (vector espacial) es transportado por un observador en caída libre. La precesión geodética es una manifestación del transporte paralelo en espacio-tiempos curvos.

7.5 Holonomía

Si transportamos paralelamente un vector a lo largo de una curva cerrada $\gamma$ que comienza y termina en $p \in M$, el vector resultante no coincide necesariamente con el original. La transformación lineal que relaciona el vector inicial con el final define el concepto de holonomía.

El conjunto de todos los transportes paralelos a lo largo de lazos basados en $p$ forma un subgrupo de $GL(T_p M)$, denominado grupo de holonomía en $p$, denotado $\operatorname{Hol}_p(\nabla)$. Para la conexión de Levi-Civita, $\operatorname{Hol}_p(\nabla) \subseteq O(T_p M)$ (o $SO(T_p M)$ si $M$ es orientable), como consecuencia de la preservación del producto interno.

El Teorema de Ambrose–Singer (1953) revela la relación profunda entre holonomía y curvatura: el álgebra de Lie del grupo de holonomía está generada por los operadores de curvatura $R(X, Y)$ para todos los vectores $X, Y$ obtenidos por transporte paralelo desde $p$ a lo largo de curvas arbitrarias. Es decir, la curvatura determina completamente la holonomía infinitesimal.

Significado geométrico: La holonomía mide cuánto se desvía una variedad de ser plana. Una variedad tiene curvatura nula si y sólo si su grupo de holonomía (restringido) es trivial. La clasificación de Berger (1955) de los posibles grupos de holonomía de variedades riemannianas irreducibles y no simétricas es uno de los resultados más profundos de la geometría diferencial: $SO(n)$, $U(m)$, $SU(m)$ ($n=2m$), $Sp(m)$, $Sp(m)Sp(1)$ ($n=4m$), $G_2$ ($n=7$) y $\operatorname{Spin}(7)$ ($n=8$).

7.6 Geodésicas como Curvas de Aceleración Nula: Ejemplos

La caracterización de las geodésicas como curvas de aceleración covariante nula permite determinarlas explícitamente en variedades con suficiente simetría.

Geodésicas en la esfera $S^2$

Parametrizamos $S^2 \subset \mathbb{R}^3$ mediante coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$ con la métrica inducida $g = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2$. Los símbolos de Christoffel no nulos son:

$$\Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\sin\theta \cos\theta, \qquad \Gamma^\phi_{\theta\phi} = \Gamma^\phi_{\phi\theta} = \cot\theta$$

Las ecuaciones geodésicas resultan:

$$\ddot{\theta} - \sin\theta \cos\theta \, \dot{\phi}^2 = 0, \qquad \ddot{\phi} + 2\cot\theta \, \dot{\theta}\dot{\phi} = 0$$

Las soluciones son los círculos máximos (intersecciones de $S^2$ con planos que pasan por el origen). Localmente, las geodésicas minimizan la distancia: un arco de círculo máximo es el camino más corto entre dos puntos sobre la esfera. La aplicación exponencial $\exp_p$ mapea rectas por el origen de $T_p S^2$ a círculos máximos, y es un difeomorfismo local en la bola de radio $\pi$.

Geodésicas en el plano hiperbólico $H^2$

En el modelo del semiplano superior $\mathbb{H}^2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\}$ con métrica $g = (dx^2 + dy^2)/y^2$, las geodésicas son semicírculos ortogonales al eje $x$ y rectas verticales. Los símbolos de Christoffel no nulos son:

$$\Gamma^x_{xy} = \Gamma^x_{yx} = \Gamma^y_{yy} = -\frac{1}{y}, \qquad \Gamma^y_{xx} = \frac{1}{y}$$

Las ecuaciones geodésicas son $\ddot{x} - \frac{2}{y}\dot{x}\dot{y} = 0$ y $\ddot{y} + \frac{1}{y}(\dot{x}^2 - \dot{y}^2) = 0$, cuyas soluciones reproducen las curvas mencionadas.

Propiedad fundamental: El plano hiperbólico es geodésicamente completo: toda geodésica puede extenderse indefinidamente ($t \in \mathbb{R}$). Por el contrario, una variedad riemanniana con un punto eliminado es geodésicamente incompleta. El célebre Teorema de Hopf–Rinow establece la equivalencia entre completitud geodésica, completitud métrica (como espacio métrico) y compacidad de las bolas cerradas acotadas.