Geometría Diferencial

Variedades, Conexiones, Curvatura y Aplicaciones Físicas

Este curso introduce la geometría diferencial moderna, desde la definición de variedades diferenciables hasta las aplicaciones en relatividad general y mecánica geométrica. Se desarrollan los conceptos de tensores, formas diferenciales, conexiones, curvatura, geodésicas y las ecuaciones de estructura de Cartan, culminando en la formulación geométrica de la gravitación de Einstein y la mecánica hamiltoniana sobre variedades simplécticas.

Índice de Capítulos

Capítulo 1

Variedades Diferenciables

Cartas, atlas, transiciones, estructura diferenciable, ejemplos canónicos.
Capítulo 2

Vectores Tangentes y Cotangentes

Espacio tangente, fibrado tangente, 1-formas, fibrado cotangente.
Capítulo 3

Tensores

Definición, operaciones tensoriales, notación abstracta y de índices.
Capítulo 4

Formas Diferenciales

Producto exterior, derivada exterior, lema de Poincaré, integración.
Capítulo 5

Conexiones y Derivada Covariante

Conexión afín, símbolos de Christoffel, derivada covariante de tensores.
Capítulo 6

Curvatura

Tensor de Riemann, Ricci, escalar de curvatura, identidades de Bianchi.
Capítulo 7

Geodésicas y Transporte Paralelo

Ecuación geodésica, transporte paralelo, holonomía.
Capítulo 8

Formas de Cartan

Formas de conexión, ecuaciones de estructura de Cartan.
Capítulo 9

Aplicación en Relatividad General

Principio de equivalencia, ecuaciones de Einstein, métrica de Schwarzschild.
Capítulo 10

Formulación Geométrica de la Mecánica

Variedades simplécticas, corchetes de Poisson, momento map, reducción.

Bibliografía Recomendada

  • Introduction to Smooth Manifolds
    Lee, J. M.
    Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2nd ed., 2012.
  • Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature
    Lee, J. M.
    Springer, Graduate Texts in Mathematics, 1997.
  • Riemannian Geometry
    Do Carmo, M. P.
    Birkhäuser, 1992.
  • Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes
    Tu, L. W.
    Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2017.
  • Geometry, Topology and Physics
    Nakahara, M.
    CRC Press, 2nd ed., 2003.
  • Gravitation
    Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A.
    W. H. Freeman, 1973.
  • General Relativity
    Wald, R. M.
    University of Chicago Press, 1984.
  • Foundations of Mechanics
    Abraham, R. & Marsden, J. E.
    AMS Chelsea Publishing, 2nd ed., 1978.
  • Mathematical Methods of Classical Mechanics
    Arnold, V. I.
    Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2nd ed., 1989.
  • The Large Scale Structure of Space-Time
    Hawking, S. W. & Ellis, G. F. R.
    Cambridge University Press, 1973.