Capítulo 6 — Curvatura
6.1 — Tensor de curvatura de Riemann
El tensor de curvatura de Riemann mide la falta de conmutatividad de las derivadas covariantes. Dada una conexión afín $\nabla$ sobre una variedad $M$, se define como una aplicación $R: \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)$:
Geométricamente, $R(X,Y)Z$ cuantifica cuánto cambia un vector $Z$ al ser transportado paralelamente a lo largo de un paralelogramo infinitesimal generado por los campos $X$ e $Y$.
Propiedades fundamentales de $R$
- $R$ es $C^\infty(M)$-multilineal en sus tres argumentos, por lo que define un tensor de tipo $(1,3)$.
- $R(X,Y) = -R(Y,X)$ (antisimetría en los primeros dos argumentos).
- En una variedad plana (como $\mathbb{R}^n$ con la conexión usual), $R = 0$ idénticamente.
La curvatura como obstrucción a la planitud
Una variedad es localmente isométrica a $\mathbb{R}^n$ (con la métrica euclídea) si y solo si su tensor de Riemann se anula idénticamente. La curvatura es, por tanto, la obstrucción a la existencia de coordenadas globalmente planas.
6.2 — Componentes del tensor de Riemann
En una base coordenada $\{\partial_i\}$, las componentes del tensor de Riemann se definen mediante
En términos de los símbolos de Christoffel, las componentes se expresan como:
Nótese la estructura de «conmutador» de derivadas covariantes: los dos primeros términos son derivadas de $\Gamma$, mientras que los dos últimos son productos cuadráticos en $\Gamma$. Aunque $\Gamma$ no es un tensor, la combinación $R^{i}_{jkl}$ sí lo es.
El tensor de Riemann completamente covariante se obtiene bajando el índice superior con la métrica:
Simetrías del tensor de Riemann
El tensor de Riemann (completamente covariante) asociado a la conexión de Levi-Civita satisface las siguientes simetrías algebraicas:
- $R_{ijkl} = -R_{jikl}$ (antisimetría en el primer par)
- $R_{ijkl} = -R_{ijlk}$ (antisimetría en el segundo par)
- $R_{ijkl} = R_{klij}$ (simetría de intercambio de pares)
- $R_{ijkl} + R_{iklj} + R_{iljk} = 0$ (primera identidad de Bianchi algebraica)
Estas simetrías reducen drásticamente el número de componentes independientes. En dimensión $n$, el tensor de Riemann tiene $\frac{n^2(n^2-1)}{12}$ componentes independientes. Para $n=4$, esto da $20$ componentes independientes.
6.3 — Tensor de Ricci
El tensor de Ricci se obtiene contrayendo el primer índice superior con el segundo índice inferior del tensor de Riemann:
En términos de los símbolos de Christoffel:
El tensor de Ricci es simétrico: $R_{jl} = R_{lj}$. Esta propiedad es una consecuencia de las simetrías del tensor de Riemann para la conexión de Levi-Civita. En relatividad general, el tensor de Ricci aparece directamente en las ecuaciones de campo de Einstein:
6.4 — Escalar de curvatura
El escalar de curvatura (o curvatura escalar) $R$ es la traza del tensor de Ricci respecto de la métrica:
El escalar de curvatura asigna a cada punto de la variedad un único número real que representa, en cierto sentido, la «curvatura promedio» de la variedad en ese punto. Para una esfera $\mathbb{S}^n$ de radio $r$, el escalar de curvatura es:
En particular, para $\mathbb{S}^2$ (n = 2): $R = 2/r^2$, que es constante y positiva, reflejando la curvatura uniforme de la esfera.
Variedades de Einstein
Una variedad riemanniana se dice de Einstein si el tensor de Ricci es proporcional a la métrica: $R_{ij} = \lambda g_{ij}$ para alguna constante $\lambda$. En este caso, el escalar de curvatura es $R = n\lambda$. Las variedades de Einstein son puntos críticos del funcional de Hilbert-Einstein y juegan un papel central en relatividad general.
6.5 — Primera y segunda identidad de Bianchi
La primera identidad de Bianchi (algebraica) expresa una simetría cíclica del tensor de Riemann completamente covariante:
Esta identidad, junto con las simetrías de antisimetría, reduce las componentes independientes del tensor de Riemann como se indicó anteriormente.
La segunda identidad de Bianchi (diferencial) involucra la derivada covariante del tensor de Riemann:
Esta identidad es fundamental porque su contracción conduce a la ley de conservación que subyace a las ecuaciones de campo de Einstein. Contrayendo los índices apropiados se obtiene:
El tensor $G_{ij}$ se denomina tensor de Einstein y su divergencia covariante es idénticamente nula como consecuencia de la segunda identidad de Bianchi.
Interpretación física
La segunda identidad de Bianchi garantiza la conservación local de la energía y el momento en relatividad general: $\nabla^{\mu} T_{\mu\nu} = 0$. Si la geometría satisface las ecuaciones de Einstein $G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$, entonces la divergencia nula de $G_{\mu\nu}$ implica automáticamente la conservación del tensor de energía-momento $T_{\mu\nu}$.
6.6 — Significado geométrico de la curvatura
La curvatura seccional $K(\Pi)$ de un 2-plano $\Pi \subset T_pM$ generado por vectores ortonormales $u, v$ se define como:
La curvatura seccional determina completamente el tensor de Riemann. Es la curvatura gaussiana de la superficie geodésica generada por $\Pi$.
La ecuación de desviación geodésica describe cómo dos geodésicas cercanas se separan (o acercan) debido a la curvatura:
Donde $T$ es el vector tangente a una familia de geodésicas y $S$ es el vector de separación (Jacobi). Si la curvatura seccional es positiva, las geodésicas convergen; si es negativa, divergen. Este fenómeno codifica los efectos de marea en relatividad general: partículas cercanas en caída libre se aceleran entre sí debido a la curvatura del espaciotiempo.
Curvatura y topología
El signo de la curvatura tiene profundas implicaciones topológicas. El teorema de la esfera (Berger-Klingenberg, 1960s) establece que una variedad riemanniana compacta y simplemente conexa con curvatura seccional estrictamente comprendida entre $1/4$ y $1$ es homeomorfa a la esfera. Análogamente, el teorema de Cartan-Hadamard afirma que una variedad completa con curvatura seccional no positiva tiene espacio recubridor universal difeomorfo a $\mathbb{R}^n$.
En relatividad general, el tensor de Riemann del espaciotiempo de Schwarzschild (que describe el campo gravitatorio exterior a una masa esférica) tiene componentes no nulas que decaen como $r^{-3}$. Las fuerzas de marea —la diferencia de aceleración gravitatoria entre dos puntos cercanos— son proporcionales a estas componentes. Esto explica por qué un astronauta que cae en un agujero negro es «espaguetificado»: la curvatura crece sin límite al aproximarse a la singularidad.