Capítulo 9 — Aplicación en Relatividad General

De la geometría de Riemann al espaciotiempo curvo de Einstein
Prof. Mariano Miguel Lanzi

La relatividad general, formulada por Albert Einstein en 1915, constituye la aplicación más espectacular de la geometría diferencial a la física. En esta teoría, la gravedad deja de ser una fuerza misteriosa que actúa a distancia y se convierte en una manifestación de la curvatura del espaciotiempo. La materia y la energía le dicen al espaciotiempo cómo curvarse, y el espaciotiempo curvo le dice a la materia cómo moverse. Este capítulo explora cómo las estructuras geométricas estudiadas en capítulos anteriores — variedades, tensores, conexiones, curvatura y geodésicas — se unifican en una de las teorías físicas más elegantes jamás concebidas.

1. Principio de equivalencia y geometrización de la gravedad

El punto de partida conceptual de la relatividad general es el principio de equivalencia, que establece que los efectos de un campo gravitatorio uniforme son localmente indistinguibles de los de un sistema de referencia acelerado. En otras palabras, un observador en caída libre no siente su propio peso: la gravedad puede ser "eliminada" localmente eligiendo el sistema de referencia adecuado.

Este principio sugiere que la gravedad no es una fuerza en el sentido newtoniano, sino una propiedad geométrica del espaciotiempo. Las trayectorias de partículas libres (no sometidas a fuerzas no gravitatorias) son geodésicas de la variedad espaciotemporal. La curvatura del espaciotiempo, codificada en el tensor de Riemann, es la manifestación geométrica de la presencia de materia y energía.

Principio de equivalencia (Einstein, 1907): En una región suficientemente pequeña del espaciotiempo, las leyes de la física se reducen a las de la relatividad especial: localmente, el espaciotiempo es minkowskiano y toda conexión afín puede reducirse a cero en un punto mediante una elección adecuada de coordenadas (coordenadas localmente inerciales).

Matemáticamente, esto se traduce en que en cada punto $p$ de la variedad espaciotemporal existe un sistema de coordenadas donde la métrica se reduce a la de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ y los símbolos de Christoffel se anulan:

$$g_{\mu\nu}(p) = \eta_{\mu\nu}, \qquad \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}(p) = 0$$

Sin embargo, las derivadas segundas de la métrica —que codifican la curvatura— no pueden eliminarse mediante un cambio de coordenadas. El tensor de curvatura de Riemann $R^{\rho}_{\ \sigma\mu\nu}$ es la cantidad geométrica que caracteriza intrínsecamente la gravedad.

Cuidado: La anulación de los Christoffel en un punto es siempre posible (coordenadas localmente inerciales), pero la anulación de la curvatura de Riemann en toda una región es una condición global que solo se cumple si el espaciotiempo es plano (Minkowski). La presencia de curvatura no nula es lo que distingue un campo gravitatorio real de uno ficticio (aceleración).

2. Variedad espaciotemporal $(M, g)$

En relatividad general, el universo se modela como una variedad diferenciable $M$ de dimensión 4, dotada de una métrica lorentziana $g$ (esto es, una métrica con signatura $(-,+,+,+)$ o $(+,-,-,-)$ según la convención). La condición lorentziana asegura que en cada punto del espaciotiempo el cono de luz esté bien definido: los vectores tangentes se clasifican en temporales ($g(v,v) < 0$), nulos o lumínicos ($g(v,v) = 0$) y espaciales ($g(v,v) > 0$).

En relatividad especial (espaciotiempo plano), la métrica toma la forma de Minkowski. En coordenadas cartesianas $(t, x, y, z)$:

$$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

En relatividad general, la métrica $g_{\mu\nu}$ es una función de las coordenadas. La ecuación de las geodésicas determina el movimiento de partículas libres:

$$\frac{d^2 x^{\mu}}{d\tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} \frac{dx^{\lambda}}{d\tau} = 0$$

donde $\tau$ es el tiempo propio a lo largo de la curva y $\Gamma^{\mu}_{\nu\lambda}$ son los símbolos de Christoffel derivados de $g_{\mu\nu}$:

$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma}\left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right)$$
Interpretación física: Partículas de prueba (masivas) siguen geodésicas temporales; los fotones (luz) siguen geodésicas nulas. En ambos casos, la "fuerza" gravitatoria ha sido absorbida completamente en la geometría del espaciotiempo a través de los Christoffel.

3. Tensor de energía-momento $T_{\mu\nu}$

Así como la curvatura describe la geometría, el tensor de energía-momento $T_{\mu\nu}$ describe el contenido material y energético del espaciotiempo. Es un tensor simétrico de rango $(0,2)$ que actúa como fuente del campo gravitatorio en las ecuaciones de Einstein, análogamente a como la densidad de carga actúa como fuente del campo electromagnético en las ecuaciones de Maxwell.

Para un fluido perfecto —modelo que describe la materia a escalas cosmológicas— el tensor de energía-momento toma la forma:

$$T_{\mu\nu} = \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) u_\mu u_\nu + p\, g_{\mu\nu}$$

donde $\rho$ es la densidad de energía en reposo, $p$ la presión y $u^\mu$ la cuadrivelocidad del fluido. La conservación local de la energía y el momento se expresa mediante la ley de conservación covariante:

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$$

Esta ecuación es una consecuencia directa de las identidades de Bianchi contraídas $\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0$ y constituye una de las piedras angulares de la teoría. De ella se derivan las ecuaciones de movimiento de la materia acoplada al campo gravitatorio.

Nota: La derivada covariante $\nabla_\mu$ (y no la derivada parcial $\partial_\mu$) es esencial aquí. La conservación $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ solo es válida en espaciotiempo plano; en presencia de curvatura, la derivada parcial no es un tensor y la ley de conservación correcta requiere la conexión métrica.

4. Ecuaciones de campo de Einstein

Las ecuaciones de campo de Einstein constituyen el núcleo de la relatividad general. Relacionan la geometría del espaciotiempo (codificada en el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}$) con el contenido de materia y energía (codificado en $T_{\mu\nu}$):

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

Donde:

  • $R_{\mu\nu}$ es el tensor de Ricci, contracción del tensor de Riemann: $R_{\mu\nu} = R^{\lambda}_{\ \mu\lambda\nu}$.
  • $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ es el escalar de curvatura (o escalar de Ricci).
  • $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$ es el tensor de Einstein.
  • $\Lambda$ es la constante cosmológica, que puede interpretarse como una densidad de energía del vacío.
  • $G$ es la constante de gravitación universal de Newton y $c$ la velocidad de la luz.

La identidad de Bianchi contraída garantiza que $\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0$, lo cual es consistente con la conservación del tensor de energía-momento. En el vacío ($T_{\mu\nu} = 0$), las ecuaciones se reducen a:

$$R_{\mu\nu} = 0$$
Importante: $R_{\mu\nu} = 0$ no implica que el espaciotiempo sea plano. El tensor de Riemann completo $R^{\rho}_{\ \sigma\mu\nu}$ puede tener componentes no nulas incluso cuando el tensor de Ricci se anula. Las soluciones de vacío (como Schwarzschild) poseen curvatura no trivial — el tensor de Weyl codifica la parte de la curvatura que no está determinada localmente por la materia.

5. Métrica de Schwarzschild

La solución de Schwarzschild (1916) es la solución exacta más importante de las ecuaciones de Einstein en vacío. Describe el campo gravitatorio exterior a una distribución de masa esféricamente simétrica, estática y sin carga eléctrica. Es el análogo relativista del potencial newtoniano $-GM/r$.

En coordenadas esféricas $(t, r, \theta, \phi)$, el elemento de línea de Schwarzschild es:

$$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2)$$

Definiendo el radio de Schwarzschild $r_s = 2GM/c^2$ (en unidades geometrizadas $G=c=1$, simplemente $r_s = 2M$), la métrica se escribe:

$$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Propiedades clave de esta solución:

  • Singularidad en $r = r_s$: Es una singularidad de coordenadas (no física) que puede eliminarse con coordenadas apropiadas (Eddington-Finkelstein, Kruskal-Szekeres). Representa el horizonte de eventos de un agujero negro.
  • Singularidad en $r = 0$: Es una singularidad física donde la curvatura diverge (incluso los escalares de curvatura como $R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}$ divergen).
  • Teorema de Birkhoff: La métrica de Schwarzschild es la única solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en vacío; toda solución con simetría esférica en vacío es necesariamente estática.
Física de Schwarzschild: A grandes distancias ($r \gg r_s$), la métrica tiende a Minkowski y la aproximación newtoniana es válida. Cerca del horizonte, los efectos relativistas se vuelven dominantes: dilatación temporal gravitatoria, corrimiento al rojo gravitacional y curvatura extrema de las geodésicas.

6. Geodésicas en Schwarzschild y tests clásicos

Las geodésicas en la métrica de Schwarzschild permiten calcular tres de los llamados tests clásicos de la relatividad general, que proporcionaron las primeras verificaciones observacionales de la teoría.

6.1 Precesión del perihelio de Mercurio

La ecuación de las geodésicas para órbitas temporales (masivas) en el plano ecuatorial $\theta = \pi/2$ conduce a una ecuación diferencial para $u(\phi) = 1/r$:

$$\frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2} u^2$$

donde $h = r^2 d\phi/d\tau$ es el momento angular por unidad de masa. El término $3GM u^2 / c^2$ —ausente en la teoría newtoniana— produce una precesión del perihelio. Para Mercurio, la predicción es de aproximadamente $43''$ por siglo (segundos de arco), en excelente acuerdo con las observaciones de Le Verrier (1859) que la mecánica newtoniana no podía explicar.

6.2 Deflexión de la luz

Para geodésicas nulas (luz), la ecuación se modifica ligeramente. La trayectoria de un rayo de luz que pasa cerca del Sol sufre una deflexión angular dada por:

$$\Delta\phi = \frac{4GM}{c^2 b}$$

donde $b$ es el parámetro de impacto. Para un rayo rasante al borde solar, $\Delta\phi \approx 1.75''$, el doble del valor predicho por la teoría newtoniana (si se trata la luz como partículas). Esta predicción fue confirmada por Eddington durante el eclipse solar de 1919.

Tests modernos: Además de los tres tests clásicos (precesión del perihelio, deflexión de la luz y corrimiento al rojo gravitacional), la relatividad general ha sido verificada con precisión extraordinaria mediante: púlsares binarios (Hulse-Taylor, Nobel 1993), lentes gravitacionales, detección directa de ondas gravitacionales (LIGO, Nobel 2017) y la imagen del horizonte de eventos de M87* (EHT, 2019).

Cuestionario de Autoevaluación

1. Según el principio de equivalencia, en una región suficientemente pequeña del espaciotiempo:

2. ¿Qué signatura caracteriza a una métrica lorentziana en relatividad general?

3. La ecuación de las geodésicas en relatividad general es $\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\lambda}{d\tau} = 0$. ¿Qué papel juegan los Christoffel $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$?

4. Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan geometría y materia. ¿A qué es igual la divergencia covariante del tensor de Einstein?

5. ¿Qué forma toma el tensor de energía-momento de un fluido perfecto?

6. El radio de Schwarzschild $r_s$ está dado por:

7. En la solución de Schwarzschild, ¿qué representa la superficie $r = r_s$?

8. ¿Qué afirma esencialmente el teorema de Birkhoff?

9. La precesión del perihelio de Mercurio predicha por la relatividad general se debe al término adicional en la ecuación de las geodésicas. ¿Cuál es ese término?

10. ¿Cuál es el valor de la deflexión de la luz predicha por la relatividad general para un rayo rasante al borde solar?