Capítulo 3 — Tensores | Geometría Diferencial

1. Definición de Tensor

Un tensor de tipo $(r,s)$ en un punto $p \in M$ es un mapeo multilineal $$ T_p: \underbrace{T_p^*M \times \cdots \times T_p^*M}_{r\ \text{veces}} \times \underbrace{T_p M \times \cdots \times T_p M}_{s\ \text{veces}} \longrightarrow \mathbb{R}. $$ De forma equivalente, un campo tensorial de tipo $(r,s)$ sobre una variedad $M$ es un mapeo $C^\infty(M)$-multilineal $$ T: \underbrace{\Omega^1(M) \times \cdots \times \Omega^1(M)}_{r\ \text{veces}} \times \underbrace{\mathfrak{X}(M) \times \cdots \times \mathfrak{X}(M)}_{s\ \text{veces}} \longrightarrow C^\infty(M), $$ donde $\mathfrak{X}(M)$ denota los campos vectoriales y $\Omega^1(M)$ las $1$-formas diferenciales sobre $M$.

$$T(\omega^1,\dots,\omega^r, X_1,\dots,X_s) \in C^\infty(M)$$

Interpretación geométrica

Un tensor de tipo $(r,s)$ puede pensarse como una máquina que acepta $r$ covectores (1-formas) y $s$ vectores como entrada, y produce un número real en cada punto. La multilinealidad garantiza que el resultado es lineal en cada argumento por separado.

Casos particulares fundamentales: un tensor de tipo $(0,0)$ es una función escalar, uno de tipo $(1,0)$ es un campo vectorial, y uno de tipo $(0,1)$ es una $1$-forma diferencial. El tipo $(0,2)$ incluye al tensor métrico, mientras que el tipo $(1,1)$ corresponde a endomorfismos del fibrado tangente.

$$\Gamma(T^{(r,s)}M) \cong \underbrace{\mathfrak{X}(M) \otimes \cdots \otimes \mathfrak{X}(M)}_{r} \otimes \underbrace{\Omega^1(M) \otimes \cdots \otimes \Omega^1(M)}_{s}$$

Precaución

El espacio de tensores en cada punto forma un espacio vectorial real de dimensión $n^{r+s}$, donde $n = \dim M$. Esto refleja la enorme riqueza algebraica que subyace incluso en variedades de baja dimensión.

2. Notación de Índices y Convención de Einstein

En una carta local $(U, \varphi)$ con coordenadas $(x^1,\dots,x^n)$, una base del espacio tangente $T_pM$ está dada por $\{\partial_i := \partial/\partial x^i\}_{i=1}^n$, y la base dual de $T_p^*M$ por $\{dx^i\}_{i=1}^n$. Un tensor arbitrario de tipo $(r,s)$ se expande como

$$T = T^{i_1 \dots i_r}_{\ \ \ j_1 \dots j_s}\; \partial_{i_1} \otimes \cdots \otimes \partial_{i_r} \otimes dx^{j_1} \otimes \cdots \otimes dx^{j_s}$$

La convención de suma de Einstein establece que todo índice que aparezca repetido exactamente dos veces —una vez como superíndice (contravariante) y otra como subíndice (covariante)— se suma implícitamente sobre todo su rango $\{1,\dots,n\}$, omitiendo el símbolo de sumatoria $\sum$.

$$v = v^i\,\partial_i \equiv \sum_{i=1}^n v^i\,\partial_i, \qquad \omega = \omega_i\,dx^i \equiv \sum_{i=1}^n \omega_i\,dx^i$$

Convención de Einstein

Los índices repetidos «mudos» (uno arriba y otro abajo) indican suma sobre $\{1,\dots,n\}$. Los índices libres (no repetidos) determinan el tipo del tensor resultante. Por ejemplo, en $A^i_{\;j} v^j$ el índice $i$ es libre y $j$ es mudo; el resultado es un vector contravariante.

La evaluación de un tensor sobre sus argumentos se expresa en componentes como:

$$T(\omega^1,\dots,\omega^r, X_1,\dots,X_s) = T^{i_1 \dots i_r}_{\ \ \ j_1 \dots j_s}\; \omega^1_{i_1} \cdots \omega^r_{i_r} \cdot X_1^{j_1} \cdots X_s^{j_s}$$

Ventaja práctica

La convención de Einstein suprime la notación de sumas, haciendo que las expresiones algebraicas sean concisas y revelando la estructura de contracción entre índices. Es indispensable en relatividad general y teorías de gauge.

3. Tipos de Tensores y Cambio de Base

Bajo un cambio de coordenadas $x^i \mapsto x'^i$, las bases del tangente y cotangente transforman según la regla de la cadena:

$$\partial_i' = \frac{\partial x^j}{\partial x'^i}\,\partial_j, \qquad dx'^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^j}\,dx^j$$

La ley de transformación de componentes tensoriales para un tensor de tipo $(r,s)$ es:

$$T'^{\,i_1 \dots i_r}_{\ \ \ \ \ j_1 \dots j_s} = \left(\prod_{a=1}^r \frac{\partial x'^{i_a}}{\partial x^{k_a}}\right) \left(\prod_{b=1}^s \frac{\partial x^{l_b}}{\partial x'^{j_b}}\right) T^{k_1 \dots k_r}_{\ \ \ \ \ l_1 \dots l_s}$$

Esta ley de transformación es la caracterización operativa de un tensor: un objeto geométrico cuyas componentes en cada sistema coordenado se relacionan mediante productos de matrices jacobianas y sus inversas.

Caracterización operativa

Un conjunto de $n^{r+s}$ funciones que bajo cambio de coordenadas transforman según la regla anterior es un tensor de tipo $(r,s)$. Esta definición, conocida como «definición clásica», es equivalente a la definición intrínseca multilineal.

Tipo $(0,0)$: escalar, invariante: $f'(x') = f(x)$.
Tipo $(1,0)$: vector contravariante: $V'^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} V^j$.
Tipo $(0,1)$: covector o 1-forma: $\omega'_i = \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} \omega_j$.
Tipo $(0,2)$: tensor covariante de rango 2, como la métrica $g_{ij}$.
Tipo $(1,1)$: tensor mixto, corresponde a un endomorfismo del fibrado tangente.
Tipo $(2,0)$: tensor contravariante de rango 2, como el tensor de Ricci $R^{ij}$.

$$\dim_{\mathbb{R}} T^{(r,s)}_pM = n^{r+s}, \qquad n = \dim M$$

Atención

No todo objeto con índices es un tensor. Los símbolos de Christoffel $\Gamma^i_{jk}$ no transforman como un tensor de tipo $(1,2)$, aunque poseen tres índices. La verificación de la ley de transformación es el criterio definitivo.

4. Operaciones Tensoriales

Producto Tensorial $\otimes$

Dados un tensor $T$ de tipo $(r_1, s_1)$ y $S$ de tipo $(r_2, s_2)$, su producto tensorial $T \otimes S$ es un tensor de tipo $(r_1+r_2, s_1+s_2)$ definido por

$$(T \otimes S)(\omega^1,\dots,\omega^{r_1+r_2}, X_1,\dots,X_{s_1+s_2}) = T(\omega^1,\dots,\omega^{r_1}, X_1,\dots,X_{s_1}) \cdot S(\omega^{r_1+1},\dots,\omega^{r_1+r_2}, X_{s_1+1},\dots,X_{s_1+s_2})$$

En componentes:

$$(T \otimes S)^{i_1 \dots i_{r_1+r_2}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1 \dots j_{s_1+s_2}} = T^{i_1 \dots i_{r_1}}_{\ \ \ \ \ j_1 \dots j_{s_1}}\ S^{i_{r_1+1} \dots i_{r_1+r_2}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ j_{s_1+1} \dots j_{s_1+s_2}}$$

Contracción

La contracción de un índice contravariante con uno covariante de un tensor de tipo $(r,s)$ produce un tensor de tipo $(r-1, s-1)$. Operacionalmente, se igualan los índices y se suma sobre ellos según la convención de Einstein:

$$\operatorname{C}^a_b(T)^{i_1\dots \widehat{i_a} \dots i_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ j_1 \dots \widehat{j_b} \dots j_s} = T^{i_1\dots k \dots i_r}_{\ \ \ \ \ j_1 \dots k \dots j_s}$$

Por ejemplo, la contracción de un tensor de tipo $(1,1)$ es su traza: $C(T) = T^i_{\;i}$, que es un escalar (tipo $(0,0)$). La contracción de un tensor de tipo $(0,2)$ con uno de tipo $(2,0)$ produce un escalar: $T_{ij} S^{ij}$.

Propiedades del producto tensorial y contracción

El producto tensorial es asociativo: $(T \otimes S) \otimes U = T \otimes (S \otimes U)$.
No es conmutativo en general: $T \otimes S \neq S \otimes T$.
La contracción reduce el tipo en $(1,1)$ y conmuta con el producto tensorial en índices no contraídos.

El álgebra tensorial en cada punto $p \in M$ es el álgebra graduada $$T_p^\bullet M = \bigoplus_{r,s \geq 0} T_p^{(r,s)} M,$$ equipada con el producto tensorial $\otimes$ que la convierte en un álgebra asociativa bigraduada.

Visibilidad computacional

En la práctica, las operaciones tensoriales se implementan como contracciones de productos tensoriales. Por ejemplo, la evaluación $T(\omega, X)$ es la contracción total del producto $T \otimes \omega \otimes X$.

5. Métrica Riemanniana

Una métrica riemanniana $g$ sobre una variedad diferenciable $M$ es un campo tensorial suave de tipo $(0,2)$ que es simétrico y definido positivo en cada punto:

$$g_{ij} = g_{ji}, \qquad g(v,v) > 0 \ \ \forall\, v \neq 0 \in T_pM$$

En coordenadas locales, la métrica se expresa mediante el elemento de línea:

$$ds^2 = g_{ij}(x)\, dx^i \otimes dx^j = g_{ij}(x)\, dx^i dx^j$$

La métrica dota a cada espacio tangente $T_pM$ de un producto interno $\langle u, v \rangle_g = g_{ij} u^i v^j$, permitiendo medir longitudes de curvas, ángulos entre vectores y volúmenes.

Ejemplos fundamentales

Métrica euclídea en $\mathbb{R}^n$:

$$g_{ij} = \delta_{ij}, \qquad ds^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + \cdots + (dx^n)^2$$

Métrica de Minkowski en $\mathbb{R}^4$ (relatividad especial):

$$\eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(-1, 1, 1, 1), \qquad ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Métrica lorentziana vs. riemanniana

La métrica de Minkowski no es riemanniana (no es definida positiva) sino lorentziana, con signatura $(-,+,+,+)$. Las variedades equipadas con una métrica lorentziana constituyen el marco geométrico de la relatividad general.

Métrica redonda sobre la esfera $S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$: Inducida por la inclusión en el espacio euclídeo ambiente. En coordenadas esféricas,

$$ds^2 = d\theta_1^2 + \sin^2\theta_1\,d\theta_2^2 + \cdots + \sin^2\theta_1 \cdots \sin^2\theta_{n-1}\,d\theta_n^2$$

La métrica permite definir el elemento de volumen riemanniano:

$$d\mathrm{vol}_g = \sqrt{|\det g|}\; dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n$$

Existencia de métricas

Toda variedad diferenciable (paracompacta) admite una métrica riemanniana. Esto se demuestra usando particiones de la unidad: se construyen métricas locales en cada abierto coordenado y se «pegan» suavemente. La métrica no es única; existen infinitas métricas riemannianas sobre una misma variedad.

6. Subir y Bajar Índices con la Métrica

La métrica $g_{ij}$ y su inversa $g^{ij}$ (definida por $g^{ik} g_{kj} = \delta^i_j$) establecen un isomorfismo musical entre vectores y covectores, permitiendo subir y bajar índices:

$$\flat: \mathfrak{X}(M) \to \Omega^1(M), \quad (V^\flat)_i = g_{ij} V^j \quad \text{(bajar índice)}$$

$$\sharp: \Omega^1(M) \to \mathfrak{X}(M), \quad (\omega^\sharp)^i = g^{ij} \omega_j \quad \text{(subir índice)}$$

Para tensores de tipo arbitrario, se puede bajar un índice contravariante contrayendo con $g_{ij}$ y subir un índice covariante contrayendo con $g^{ij}$:

$$T^{\ \ \ \ i_2 \dots i_r}_{j_0 j_1 \dots j_s} = g_{j_0 k}\; T^{k i_2 \dots i_r}_{\ \ \ \ \ j_1 \dots j_s}, \qquad T^{i_0 i_1 \dots i_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ j_1 \dots j_s} = g^{i_0 k}\; T^{i_1 \dots i_r}_{\ \ \ \ \ k j_1 \dots j_s}$$

Isomorfismo musical

Los operadores $\flat$ (bemol) y $\sharp$ (sostenido) deben su nombre a la notación musical, pues «bajan» o «suben» la posición de los índices. Constituyen isomorfismos entre $\mathfrak{X}(M)$ y $\Omega^1(M)$ que dependen suavemente del punto base.

Una propiedad fundamental es que estas operaciones son compatibles con el producto interno: $\langle V, W \rangle_g = g_{ij} V^i W^j = V^\flat(W) = g^{ij} V^\flat_i W^\flat_j$. En relatividad general, esta dualidad es esencial para escribir las ecuaciones de campo de Einstein en cualquiera de sus formas equivalentes ($G_{\mu\nu}$ vs. $G^\mu_{\;\nu}$ vs. $G^{\mu\nu}$).

$$\langle X, Y \rangle_g = g_{ij} X^i Y^j = X_i Y^i = g^{ij} X_i Y_j$$

Dependencia de la métrica

Subir y bajar índices no son operaciones canónicas: dependen de la elección de la métrica $g$. Diferentes métricas sobre la misma variedad producen diferentes isomorfismos musicales y, en consecuencia, diferentes identificaciones entre vectores y covectores.