Capítulo 2 — Vectores Tangentes y Cotangentes

1. Vectores tangentes como derivaciones

En el cálculo elemental en $\mathbb{R}^n$, un vector tangente en un punto $p$ se visualiza como una flecha anclada en $p$ que indica una dirección y una magnitud. Sin embargo, para definir vectores tangentes en variedades abstractas necesitamos una definición intrínseca que no dependa de un espacio ambiente. La solución algebraica, debida a Chevalley, consiste en identificar vectores tangentes con derivaciones.

Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y sea $p \in M$. Denotamos por $C^\infty_p(M)$ el álgebra de gérmenes de funciones $C^\infty$ en $p$. Una derivación en $p$ es una aplicación $\mathbb{R}$-lineal $X_p: C^\infty_p(M) \to \mathbb{R}$ que satisface la regla de Leibniz:

$$X_p(fg) = X_p(f)\, g(p) + f(p)\, X_p(g) \qquad \forall\, f, g \in C^\infty_p(M)$$ (1)

Definición (Vector tangente)

Un vector tangente a $M$ en $p$ es una derivación en $p$. El conjunto de todas las derivaciones en $p$ forma un espacio vectorial real, denotado $T_pM$, llamado el espacio tangente a $M$ en $p$.

En coordenadas locales $(U, \varphi)$ alrededor de $p$, con funciones coordenadas $x^1, \dots, x^n$, toda derivación $X_p$ admite una representación única:

$$X_p = \sum_{i=1}^{n} X^i \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p, \qquad X^i = X_p(x^i) \in \mathbb{R}$$ (2)

donde los operadores $\partial/\partial x^i|_p$ actúan sobre una función $f \in C^\infty_p(M)$ como la derivada parcial de la representación coordenada: $\partial/\partial x^i|_p(f) = \partial (f \circ \varphi^{-1}) / \partial u^i|_{\varphi(p)}$. Los coeficientes $X^i = X_p(x^i)$ son las componentes del vector tangente en la base coordenada.

Precaución

La definición algebraica vía derivaciones es equivalente a la definición geométrica vía curvas (clases de equivalencia de curvas tangentes), pero es preferible porque pone de manifiesto la estructura de espacio vectorial y generaliza naturalmente a otras categorías (esquemas en geometría algebraica, por ejemplo).

2. Espacio tangente $T_pM$

El espacio tangente $T_pM$ en un punto $p$ de una variedad de dimensión $n$ es un espacio vectorial real de dimensión $n$. Fijado un sistema coordenado $(x^1, \dots, x^n)$ alrededor de $p$, una base natural de $T_pM$ es la base de coordenadas:

$$\left\{ \left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right|_p,\; \left.\frac{\partial}{\partial x^2}\right|_p,\; \dots,\; \left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p \right\}$$ (3)

Todo vector $X_p \in T_pM$ se escribe de manera única como combinación lineal $X_p = X^i \partial/\partial x^i|_p$, donde se emplea el convenio de suma de Einstein. Bajo un cambio de coordenadas de $(x^i)$ a $(\tilde{x}^j)$, las componentes y los vectores base se transforman según:

$$\tilde{X}^j = X^i \frac{\partial \tilde{x}^j}{\partial x^i}, \qquad \left.\frac{\partial}{\partial \tilde{x}^j}\right|_p = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j} \left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p$$ (4)

Esta ley de transformación es la que caracteriza a los vectores tangentes como objetos contravariantes. La matriz jacobiana $J = (\partial \tilde{x}^j / \partial x^i)$ del cambio de cartas gobierna la transformación de las componentes.

Propiedades clave

$\dim_{\mathbb{R}} T_pM = \dim M = n$ para toda variedad $M$.
Los vectores $\partial/\partial x^i|_p$ son linealmente independientes.
$T_pM$ es isomorfo (no canónicamente) a $\mathbb{R}^n$.
La unión disjunta de todos los espacios tangentes forma el fibrado tangente $TM$.

Geométricamente, $T_pM$ es la mejor aproximación lineal a la variedad $M$ en el punto $p$. Toda construcción local de la geometría diferencial (métricas, conexiones, curvatura) se realiza en primera instancia en los espacios tangentes y luego se globaliza a la variedad.

3. Fibrado tangente $TM$

El fibrado tangente de una variedad $M$ es la unión disjunta de todos los espacios tangentes:

$$TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM = \{\, (p, v) \mid p \in M,\; v \in T_pM \,\}$$ (5)

con la proyección canónica $\pi: TM \to M$ definida por $\pi(p, v) = p$. La fibra sobre un punto $p$ es $\pi^{-1}(p) = T_pM$, que es un espacio vectorial de dimensión $n$.

$TM$ admite una estructura natural de variedad diferenciable de dimensión $2n$. Dada una carta $(U, \varphi)$ en $M$ con coordenadas $(x^1, \dots, x^n)$, se construye una carta en $TM$ sobre $\pi^{-1}(U)$ mediante:

$$\Phi: \pi^{-1}(U) \to \varphi(U) \times \mathbb{R}^n \subset \mathbb{R}^{2n}, \qquad \Phi(p, v) = (x^1(p), \dots, x^n(p), v^1, \dots, v^n)$$ (6)

donde $v = v^i \partial/\partial x^i|_p$. Las funciones de transición para $TM$ se construyen a partir de las de $M$ e involucran la matriz jacobiana del cambio de cartas, lo que garantiza que $TM$ es una variedad $C^\infty$.

Fibrados vectoriales

$TM$ es el ejemplo prototípico de fibrado vectorial sobre $M$: una familia de espacios vectoriales parametrizada por $M$ que localmente es un producto $U \times \mathbb{R}^n$, pero que globalmente puede ser no trivial. Las funciones de transición entre trivializaciones locales son aplicaciones lineales en las fibras. Un campo vectorial es una sección diferenciable del fibrado tangente: $X: M \to TM$ tal que $\pi \circ X = \mathrm{id}_M$.

La trivialidad global de $TM$ es una propiedad geométrica importante. Una variedad se dice paralelizable si $TM \cong M \times \mathbb{R}^n$. Los grupos de Lie son paralelizables; las esferas $S^1$, $S^3$ y $S^7$ también lo son, pero $S^2$ no admite un campo vectorial que nunca se anule (teorema de la bola peluda).

Atención

Aunque $T_pM$ es siempre isomorfo a $\mathbb{R}^n$, el isomorfismo no es canónico: depende de la elección de coordenadas. Las cartas en $TM$ involucran elecciones de bases en cada fibra. La topología global de $M$ dicta cuán lejos está $TM$ de ser un producto trivial.

4. Diferencial de una función suave

Sean $M$ y $N$ variedades diferenciables y $f: M \to N$ una función $C^\infty$. La diferencial (o pushforward) de $f$ en $p \in M$ es la aplicación lineal

$$f_{*,p}: T_pM \to T_{f(p)}N$$ (7)

definida sobre una derivación $X_p \in T_pM$ por

$$(f_{*,p} X_p)(g) = X_p(g \circ f) \qquad \forall\, g \in C^\infty_{f(p)}(N)$$ (8)

En coordenadas locales $(x^i)$ alrededor de $p$ y $(y^\alpha)$ alrededor de $f(p)$, la diferencial se representa por la matriz jacobiana de la representación coordenada de $f$:

$$f_{*,p}\!\left( \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p \right) = \frac{\partial (y^\alpha \circ f)}{\partial x^i}(p)\; \frac{\partial}{\partial y^\alpha}\bigg|_{f(p)}$$ (9)

El pushforward satisface la regla de la cadena: si $f: M \to N$ y $g: N \to P$ son funciones suaves, entonces

$$(g \circ f)_{*,p} = g_{*,f(p)} \circ f_{*,p}$$ (10)

Teorema de la función inversa

Una función $f: M \to N$ es un difeomorfismo local en $p \in M$ si y solo si $f_{*,p}: T_pM \to T_{f(p)}N$ es un isomorfismo lineal. En particular, si $f$ es un difeomorfismo global, entonces $f_{*,p}$ es un isomorfismo para todo $p$, y $\dim M = \dim N$.

El pushforward es la contraparte invariante (libre de coordenadas) de la diferencial usual en $\mathbb{R}^n$. Es una herramienta fundamental para transportar información infinitesimal de una variedad a otra mediante mapeos suaves.

5. 1-formas y espacio cotangente

El espacio cotangente $T_p^*M$ a $M$ en $p$ es el espacio vectorial dual de $T_pM$:

$$T_p^*M = (T_pM)^* = \{\, \omega_p: T_pM \to \mathbb{R} \mid \omega_p \text{ es } \mathbb{R}\text{-lineal} \,\}$$ (11)

Los elementos de $T_p^*M$ se denominan 1-formas o covectores en $p$. La dimensión de $T_p^*M$ es $n$, igual a la de $T_pM$, pero los covectores se transforman de manera covariante bajo cambios de coordenadas.

La base dual de la base coordenada $\{\partial/\partial x^i|_p\}$ de $T_pM$ se denota $\{dx^i|_p\}$ y satisface:

$$dx^i|_p\!\left( \frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p \right) = \delta^i_j$$ (12)

Toda 1-forma $\omega_p \in T_p^*M$ se expresa de manera única como $\omega_p = \omega_i\, dx^i|_p$, con componentes $\omega_i = \omega_p(\partial/\partial x^i|_p)$. Bajo un cambio de coordenadas, las componentes se transforman mediante la matriz jacobiana inversa: $\tilde{\omega}_j = \omega_i \, \partial x^i / \partial \tilde{x}^j$.

Diferencial de una función

Para cada $f \in C^\infty(M)$, se define su diferencial $df_p \in T_p^*M$ por $df_p(X_p) = X_p(f)$. En coordenadas locales: $df_p = \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\, dx^i|_p$. El mapeo $d: C^\infty(M) \to \Omega^1(M)$ es el primer operador del complejo de De Rham y constituye la base del cálculo diferencial exterior.

La distinción entre vectores (contravariantes) y covectores (covariantes) es esencial en geometría diferencial y en física teórica. Los vectores representan direcciones y velocidades; las 1-formas representan gradientes y cantidades que se integran a lo largo de curvas.

Convenio de índices

En toda la geometría diferencial se sigue el convenio de que los índices de las componentes vectoriales se escriben como superíndices ($X^i$) y los de las 1-formas como subíndices ($\omega_i$), reflejando sus leyes de transformación contravariante y covariante respectivamente.

6. Fibrado cotangente $T^*M$

El fibrado cotangente de una variedad $M$ es la unión disjunta de todos los espacios cotangentes:

$$T^*M = \bigsqcup_{p \in M} T_p^*M$$ (13)

con proyección $\pi: T^*M \to M$, $\pi(p, \omega) = p$. Al igual que $TM$, el fibrado cotangente es una variedad diferenciable de dimensión $2n$. Una carta $(U, \varphi)$ en $M$ con coordenadas $(q^1, \dots, q^n)$ induce coordenadas $(q^1, \dots, q^n, p_1, \dots, p_n)$ en $\pi^{-1}(U) \subset T^*M$, donde $p_i$ son las componentes de la 1-forma en la base dual: $\omega = p_i\, dq^i$.

A diferencia del fibrado tangente, $T^*M$ posee una estructura geométrica adicional de carácter universal: la 1-forma canónica o forma de Liouville $\theta$, definida intrínsecamente por

$$\theta_{(p,\omega)}(X) = \omega_p(\pi_* X), \qquad X \in T_{(p,\omega)}(T^*M)$$ (14)

En coordenadas locales de fibrado, $\theta$ adopta la expresión simple:

$$\theta = p_1\, dq^1 + p_2\, dq^2 + \cdots + p_n\, dq^n = p_i\, dq^i$$ (15)

Estructura simpléctica canónica

La diferencial exterior de la forma de Liouville define la 2-forma simpléctica canónica en $T^*M$:

$$\omega = -d\theta = dq^1 \wedge dp_1 + dq^2 \wedge dp_2 + \cdots + dq^n \wedge dp_n = dq^i \wedge dp_i$$ (16)

$\omega$ es cerrada ($d\omega = 0$) y no degenerada, lo que convierte a $T^*M$ en una variedad simpléctica. Esta estructura es la base geométrica de la mecánica hamiltoniana: las coordenadas $(q^i, p_i)$ son precisamente las coordenadas canónicas del espacio de fases.

La construcción de $T^*M$ como variedad simpléctica es uno de los logros más profundos de la geometría diferencial, estableciendo un puente entre la mecánica clásica y la geometría simpléctica moderna. El fibrado cotangente es el escenario natural para el formalismo hamiltoniano, donde $q^i$ representan las coordenadas generalizadas y $p_i$ los momentos conjugados.

El estudio del fibrado cotangente conduce a conceptos avanzados como las variedades lagrangianas, las transformaciones canónicas (simplectomorfismos de $T^*M$) y la teoría de Halminton-Jacobi desde una perspectiva geométrica, temas que se explorarán en capítulos posteriores de este curso.