Capítulo 5 — Conexiones y Derivada Covariante
5.1 — Motivación física y geométrica
En el espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ podemos comparar vectores tangentes en puntos distintos mediante la traslación paralela trivial: un vector se transporta manteniendo sus componentes constantes en coordenadas cartesianas. La derivada direccional usual de un campo vectorial $Y$ a lo largo de $X$ en $\mathbb{R}^n$ se define como
Sin embargo, en una variedad diferenciable arbitraria $M$, los vectores $Y(p+tX)$ y $Y(p)$ pertenecen a espacios tangentes distintos: $T_{p+tX}M$ y $T_pM$ respectivamente. No existe un isomorfismo canónico entre ellos, por lo que la resta directa carece de sentido. Esta imposibilidad de comparar vectores en puntos distintos es la razón por la cual necesitamos una conexión.
Problema fundamental
Sin una estructura adicional, los espacios tangentes de una variedad son «flotantes»: no hay manera canónica de identificar $T_pM$ con $T_qM$ para $p \neq q$. Esta deficiencia impide definir derivadas de campos vectoriales, aceleraciones (derivadas segundas de curvas) y, en última instancia, nociones de curvatura.
Físicamente, la necesidad es clara: en relatividad general, una partícula libre sigue una geodésica cuya aceleración covariante es cero. Para formular esta condición necesitamos una derivada que «respete» la geometría intrínseca del espaciotiempo. Análogamente, en mecánica de medios continuos sobre superficies curvas, las ecuaciones de equilibrio requieren derivadas que tengan en cuenta la curvatura del sustrato.
5.2 — Conexión afín: definición axiomática
Una conexión afín (o conexión lineal) sobre una variedad diferenciable $M$ es una aplicación $\nabla: \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)$, denotada $\nabla_X Y$, que satisface los siguientes axiomas para todo $X, Y, Z \in \mathfrak{X}(M)$ y $f, g \in C^\infty(M)$:
Axiomas de la conexión afín
- $C^\infty(M)$-linealidad en el primer argumento: $\nabla_{fX + gY} Z = f \nabla_X Z + g \nabla_Y Z$
- $\mathbb{R}$-linealidad en el segundo argumento: $\nabla_X (Y + Z) = \nabla_X Y + \nabla_X Z$
- Regla de Leibniz en el segundo argumento: $\nabla_X (f Y) = X(f) Y + f \nabla_X Y$
El primer axioma establece que $\nabla_X Y$ es tensorial en $X$: el valor de $(\nabla_X Y)_p$ depende solo de $X_p$, no de los valores de $X$ en un entorno de $p$. El tercer axioma es la regla de Leibniz que convierte a $\nabla$ en una derivación sobre el álgebra de campos vectoriales.
En una carta local $(U, x^i)$, definimos los símbolos de Christoffel $\Gamma^{i}_{jk}$ mediante la acción de la conexión sobre los campos coordenados $\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$:
Para campos vectoriales arbitrarios $X = X^i \partial_i$, $Y = Y^j \partial_j$, la derivada covariante se expande como
No tensorialidad de $\Gamma$
Los símbolos de Christoffel no forman un tensor. Bajo un cambio de coordenadas $x^i \mapsto \tilde{x}^i$, se transforman según la ley no homogénea: $$ \tilde{\Gamma}^{i}_{jk} = \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^a} \frac{\partial x^b}{\partial \tilde{x}^j} \frac{\partial x^c}{\partial \tilde{x}^k} \Gamma^{a}_{bc} + \frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^a} \frac{\partial^2 x^a}{\partial \tilde{x}^j \partial \tilde{x}^k} $$ La presencia del segundo término (no homogéneo) es precisamente lo que permite cancelar la no tensorialidad de la derivada parcial ordinaria.
5.3 — Símbolos de Christoffel
En una variedad de dimensión $n$, los símbolos de Christoffel constan de $n^3$ funciones. Sin embargo, la condición de simetría de la conexión de Levi-Civita ($\Gamma^{i}_{jk} = \Gamma^{i}_{kj}$) reduce este número a $\frac{1}{2}n^2(n+1)$ componentes independientes.
La torsión de una conexión se define como el tensor
En coordenadas, las componentes del tensor de torsión son $T^{i}_{jk} = \Gamma^{i}_{jk} - \Gamma^{i}_{kj}$. Una conexión se dice simétrica o libre de torsión si $T = 0$, es decir, si $\Gamma^{i}_{jk} = \Gamma^{i}_{kj}$.
Para una conexión arbitraria, los símbolos de Christoffel pueden especificarse libremente (sujetos únicamente a la ley de transformación). La riqueza de la geometría diferencial proviene de que existen infinitas conexiones sobre una misma variedad; cada una define una noción diferente de «rectitud» (geodésicas) y de «planitud» (curvatura).
5.4 — Derivada covariante de campos vectoriales y tensores
La conexión se extiende de manera única a todos los campos tensoriales exigiendo que:
- Sobre funciones escalares: $\nabla_X f = X(f)$
- Sobre 1-formas: se define por dualidad, exigiendo que la regla de Leibniz sea compatible con la contracción: $X(\omega(Y)) = (\nabla_X \omega)(Y) + \omega(\nabla_X Y)$
- Sobre tensores generales: se extiende por la regla de Leibniz para productos tensoriales
Para una 1-forma $\omega = \omega_i dx^i$, la derivada covariante en coordenadas es:
Nótese el signo negativo y la contracción sobre el índice de la 1-forma, en contraste con los campos vectoriales donde el término de Christoffel aparece con signo positivo.
Para un tensor mixto $T^{i}_{j}$, la derivada covariante se expresa como:
La regla mnemotécnica es: cada índice contravariante suma un término $+\Gamma$, cada índice covariante suma un término $-\Gamma$.
Derivada covariante de un tensor arbitrario
Para un tensor de tipo $(r, s)$, $T^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s}$: $$ \nabla_k T^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s} = \partial_k T^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s} + \sum_{\alpha=1}^{r} \Gamma^{i_\alpha}_{kl} T^{i_1 \ldots l \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s} - \sum_{\beta=1}^{s} \Gamma^{l}_{k j_\beta} T^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots l \ldots j_s} $$ donde $l$ se inserta en la posición $\alpha$ (contravariante) o $\beta$ (covariante).
5.5 — Conexión de Levi-Civita
Dada una variedad riemanniana $(M, g)$, el teorema fundamental de la geometría riemanniana establece que existe una única conexión afín que satisface simultáneamente:
- Simétrica (libre de torsión): $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]$
- Compatible con la métrica: $\nabla_X g = 0$, es decir $X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)$
Teorema fundamental de la geometría riemanniana
Sea $(M, g)$ una variedad riemanniana (o pseudo-riemanniana). Entonces existe una única conexión afín $\nabla$, denominada conexión de Levi-Civita, que es simétrica y compatible con la métrica. Esta conexión está completamente determinada por la métrica $g$ y sus primeras derivadas.
La condición de compatibilidad métrica $\nabla g = 0$ implica que el producto interno de dos vectores paralelamente transportados a lo largo de cualquier curva se conserva. En coordenadas:
5.6 — Expresión en coordenadas: fórmula de Christoffel
Combinando la condición de simetría $\Gamma^{i}_{jk} = \Gamma^{i}_{kj}$ con la compatibilidad métrica $\nabla_k g_{ij} = 0$ se obtiene la célebre fórmula de Christoffel:
Esta expresión muestra explícitamente que los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita dependen únicamente de la métrica y sus primeras derivadas. La simetría en los índices inferiores $j$ y $k$ es evidente en la fórmula.
Ejemplo: esfera $\mathbb{S}^2$
En coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$ con métrica $g = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2$, los símbolos de Christoffel no nulos son: $$ \Gamma^{\theta}_{\phi\phi} = -\sin\theta \cos\theta, \qquad \Gamma^{\phi}_{\theta\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi\theta} = \cot\theta $$ La derivada covariante de un campo vectorial $Y = Y^\theta \partial_\theta + Y^\phi \partial_\phi$ a lo largo de $\partial_\theta$ contiene el término $\Gamma^{\phi}_{\theta\phi} Y^\phi = \cot\theta \, Y^\phi$, reflejando la convergencia de los meridianos hacia los polos.
Conexión de Levi-Civita en relatividad general
En relatividad general, el espaciotiempo está dotado de una métrica lorentziana $g_{\mu\nu}$ de signatura $(-,+,+,+)$. La conexión de Levi-Civita asociada define el transporte paralelo de cuadrivectores y las geodésicas que describen las trayectorias de partículas libres. Los símbolos de Christoffel se calculan mediante la misma fórmula, pero la métrica no es definida positiva, lo que introduce signos en las componentes temporales.