Variable Compleja

Análisis Complejo con Aplicaciones a la Física

Este curso presenta la teoría de funciones de variable compleja, desde los fundamentos algebraicos de los números complejos hasta las aplicaciones avanzadas en física. Se cubren las condiciones de Cauchy-Riemann, la integración compleja y el teorema de Cauchy, las series de Laurent y el cálculo de residuos —herramienta indispensable para evaluar integrales reales—, el mapeo conforme y su uso en electrostática y dinámica de fluidos, culminando en la conexión con las funciones especiales Gamma, Beta y Zeta.

Índice de Capítulos

Capítulo 1

Números Complejos y el Plano Complejo

Definición, forma polar, fórmula de Euler, operaciones, topología del plano complejo.
Capítulo 2

Funciones Analíticas

Diferenciabilidad compleja, ecuaciones de Cauchy-Riemann, funciones armónicas.
Capítulo 3

Funciones Elementales

Exponencial compleja, logaritmo, funciones trigonométricas e hiperbólicas, potencias.
Capítulo 4

Integración Compleja

Integrales de línea complejas, teorema de Cauchy-Goursat, independencia del camino.
Capítulo 5

Fórmula Integral de Cauchy

Fórmula integral, derivadas, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville.
Capítulo 6

Series de Laurent y Singularidades

Series de Taylor y Laurent, clasificación de singularidades, polos y residuos.
Capítulo 7

Teorema del Residuo

Cálculo de residuos, teorema del residuo, aplicaciones a integrales reales impropias.
Capítulo 8

Mapeo Conforme

Transformaciones de Möbius, principio de correspondencia, Schwarz-Christoffel.
Capítulo 9

Aplicaciones en Física

Flujo potencial, electrostática bidimensional, dinámica de fluidos, transformada de Fourier.
Capítulo 10

Conexión con Funciones Especiales

Funciones Gamma, Beta, Zeta de Riemann, conexión con series de Fourier y análisis armónico.

Bibliografía Recomendada

  • Complex Variables and Applications
    Churchill, R. V. & Brown, J. W.
    McGraw-Hill, 9th ed., 2014.
  • Visual Complex Analysis
    Needham, T.
    Oxford University Press, 1997.
  • Complex Analysis
    Ahlfors, L. V.
    McGraw-Hill, 3rd ed., 1979.
  • Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable
    Ahlfors, L. V.
    McGraw-Hill, 1979.
  • Functions of One Complex Variable (Vol. I)
    Conway, J. B.
    Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2nd ed., 1978.
  • Complex Analysis
    Stein, E. M. & Shakarchi, R.
    Princeton University Press, 2003.
  • Complex Analysis for Mathematics and Engineering
    Mathews, J. H. & Howell, R. W.
    Jones & Bartlett, 6th ed., 2012.
  • Applied Complex Analysis with Partial Differential Equations
    Asmar, N. H. & Grafakos, L.
    Springer, 2018.
  • Mathematical Methods for Physicists
    Arfken, G. B., Weber, H. J. & Harris, F. E.
    Academic Press, 7th ed., 2013. (Capítulos sobre variable compleja).
  • Special Functions of Mathematics for Engineers
    Andrews, L. C.
    SPIE Publications, 2nd ed., 1998.