Capítulo 4 — Integración Compleja

4.1 Integrales de Línea Complejas

Sea $f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y)$ una función continua definida sobre una curva suave a trozos $\gamma$, parametrizada por $z(t) = x(t) + i\,y(t)$ con $t \in [a,b]$. La integral de línea compleja de $f$ a lo largo de $\gamma$ se define como:

$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\!\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\gamma'(t)\,dt$$

Equivalentemente, en términos de integrales de línea reales, se desacopla en las partes real e imaginaria:

$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{\gamma} (u\,dx - v\,dy) + i\int_{\gamma} (v\,dx + u\,dy)$$

Las integrales complejas heredan las propiedades de aditividad respecto del contorno: si $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$ (concatenación de curvas), entonces $\int_{\gamma} f = \int_{\gamma_1} f + \int_{\gamma_2} f$. Además, al invertir la orientación del camino, la integral cambia de signo:

$$\int_{-\gamma} f(z)\,dz = -\int_{\gamma} f(z)\,dz$$

Ejemplo fundamental

Para $f(z) = z$ sobre el segmento $\gamma(t) = t + it$ con $t \in [0,1]$:

$\displaystyle \int_{\gamma} z\,dz = \int_{0}^{1} (t+it)(1+i)\,dt = (1+i)^2\int_{0}^{1} t\,dt = (1+i)^2 \cdot \frac{1}{2} = i$.

4.2 Propiedades de la Integral Compleja

La integral compleja de línea satisface las siguientes propiedades fundamentales:

1. Linealidad. Para constantes complejas $\alpha, \beta$ y funciones continuas $f, g$:

$$\int_{\gamma} \bigl(\alpha f(z) + \beta g(z)\bigr)\,dz = \alpha\int_{\gamma} f(z)\,dz + \beta\int_{\gamma} g(z)\,dz$$

2. Acotación M-L (Desigualdad de Darboux). Si $|f(z)| \leq M$ para todo $z$ sobre la curva $\gamma$, y $L$ es la longitud de $\gamma$, entonces:

$$\left|\int_{\gamma} f(z)\,dz\right| \leq M \cdot L$$

Esta desigualdad es una herramienta insustituible para acotar integrales y establecer límites. La longitud $L$ se calcula como $L = \int_a^b |\gamma'(t)|\,dt$.

3. Independencia de la parametrización. La integral no depende de la parametrización elegida para la curva, siempre que se preserve la orientación.

La desigualdad M-L en acción

Sea $\gamma$ la circunferencia $|z| = R$. Si $f(z) = 1/z^2$ sobre $\gamma$, entonces $|f(z)| = 1/R^2$ y $L = 2\pi R$. La desigualdad M-L da:

$$\left|\oint_{|z|=R} \frac{dz}{z^2}\right| \leq \frac{1}{R^2} \cdot 2\pi R = \frac{2\pi}{R} \xrightarrow{R \to \infty} 0$$

Esto implica que la integral tiende a $0$ cuando $R \to \infty$, lo cual es consistente con el hecho de que $1/z^2$ tiene primitiva $(-1/z)$ en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

4.3 Teorema de Cauchy-Goursat

El Teorema de Cauchy-Goursat es el pilar central de la teoría de integración compleja. Su enunciado más fundamental es:

Teorema de Cauchy-Goursat

Si $f$ es una función analítica en un dominio simplemente conexo $D$ y $\gamma$ es un contorno cerrado simple contenido en $D$, entonces:

$$\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 0$$

La versión original de Cauchy requería que $f'$ fuese continua. Goursat demostró que esta hipótesis es innecesaria: la analiticidad (existencia de $f'$) basta por sí sola. La demostración se basa en subdividir la región interior al contorno en triángulos cada vez más pequeños y aplicar el Lema de Goursat.

El teorema tiene un corolario inmediato y profundo: en un dominio simplemente conexo, la integral de una función analítica entre dos puntos no depende del camino elegido, siempre que los caminos sean homotópicos (deformables uno en el otro sin salir del dominio).

Ejemplo: $f(z) = e^z$

Como $e^z$ es entera (analítica en todo $\mathbb{C}$), para cualquier contorno cerrado $\gamma$ en $\mathbb{C}$:

$\displaystyle \oint_{\gamma} e^z\,dz = 0$.

En contraste, $f(z) = 1/z$ no es analítica en $z=0$, por lo que el teorema no se aplica sobre contornos que encierren el origen.

4.4 Independencia del Camino en Dominios Simplemente Conexos

Una consecuencia directa del Teorema de Cauchy-Goursat es que, en un dominio simplemente conexo $D$, la integral de una función analítica $f$ entre dos puntos $z_0$ y $z_1$ es independiente del camino. En efecto, dados dos caminos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ de $z_0$ a $z_1$ contenidos en $D$, el contorno cerrado $\gamma = \gamma_1 \cup (-\gamma_2)$ encierra una región donde $f$ es analítica, y por Cauchy:

$$0 = \oint_{\gamma} f = \int_{\gamma_1} f - \int_{\gamma_2} f \quad\Longrightarrow\quad \int_{\gamma_1} f = \int_{\gamma_2} f$$

Este resultado permite definir la integral como una función del punto final, análoga al Teorema Fundamental del Cálculo en variable real.

Conexión simple: condición necesaria

La hipótesis de conexión simple es esencial. En el dominio anular $D = \{z : 1 < |z| < 3\}$, la función $f(z) = 1/z$ es analítica, pero la integral sobre un camino que rodea el origen no es nula ni independiente del número de vueltas. La topología del dominio determina el comportamiento de la integral.

4.5 Teorema de la Primitiva

El Teorema de la Primitiva establece la conexión precisa entre integración y antiderivación en el plano complejo:

Teorema de la Primitiva

Si $f$ es continua en un dominio $D$ y existe una función analítica $F$ tal que $F'(z) = f(z)$ para todo $z \in D$ (es decir, $F$ es una primitiva de $f$), entonces para cualquier contorno $\gamma$ en $D$ que une $z_0$ con $z_1$:

$$\int_{\gamma} f(z)\,dz = F(z_1) - F(z_0)$$

Equivalentemente: la integral no depende del camino si y solo si $f$ posee una primitiva en el dominio. La existencia de primitiva es, a su vez, equivalente a que $\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 0$ para todo contorno cerrado $\gamma$ en $D$.

Recíprocamente, el Teorema de Cauchy-Goursat garantiza que toda función analítica en un dominio simplemente conexo posee una primitiva, definida como la integral desde un punto fijo: $F(z) = \int_{z_0}^{z} f(\zeta)\,d\zeta$. Esta $F$ es analítica y satisface $F' = f$.

Ejemplo: una primitiva explícita

$F(z) = z^2/2$ es primitiva de $f(z) = z$ en todo $\mathbb{C}$. Por tanto, para cualquier curva $\gamma$ de $0$ a $1+i$:

$\displaystyle \int_{\gamma} z\,dz = F(1+i) - F(0) = \frac{(1+i)^2}{2} = i$.

Nótese que el resultado no depende de la curva elegida.

4.6 Teorema de Cauchy para Dominios Múltiplemente Conexos

Cuando el dominio posee agujeros (no es simplemente conexo), el Teorema de Cauchy se generaliza. Consideremos un dominio $D$ limitado por un contorno exterior $C_0$ y contornos interiores $C_1, C_2, \dots, C_n$, todos orientados en sentido antihorario. Si $f$ es analítica en $D$ y continua en su clausura:

$$\oint_{C_0} f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k} f(z)\,dz$$

Equivalentemente, si se orientan los contornos interiores en sentido horario (dejando la región a la izquierda), la suma de todas las integrales se anula:

$$\oint_{C_0} f(z)\,dz + \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k^-} f(z)\,dz = 0$$

La demostración se logra practicando "cortes" que conectan los contornos interiores con el exterior, transformando el dominio en uno simplemente conexo donde se aplica el Teorema de Cauchy-Goursat clásico. Las integrales sobre los cortes, recorridos en ambos sentidos, se cancelan.

Consecuencia: Deformación de contornos

El teorema para dominios múltiplemente conexos implica que los contornos de integración pueden deformarse continuamente sin cambiar el valor de la integral, siempre que la deformación no cruce singularidades de $f$. Esta propiedad es la base del cálculo de residuos y de la evaluación de integrales reales impropias mediante integración compleja.

Un caso particular de enorme importancia es la integral fundamental:

$$\oint_{C} \frac{dz}{z - a} = 2\pi i$$

para cualquier contorno cerrado simple $C$ que encierre al punto $z = a$, orientado en sentido antihorario. Esta integral es la semilla de la Fórmula Integral de Cauchy y del cálculo de residuos.