Capítulo 9 — Aplicaciones en Física
La variable compleja es una herramienta de extraordinaria potencia en física. La identificación entre las funciones analíticas y las soluciones de la ecuación de Laplace en dos dimensiones permite tratar problemas de electrostática, dinámica de fluidos, conducción del calor, teoría de la elasticidad y óptica con una elegancia que no tiene par en el análisis real. En este capítulo exploramos las aplicaciones fundamentales: el flujo potencial, la electrostática bidimensional, la dinámica de fluidos —incluyendo el teorema de Blasius y la sustentación—, la transformada de Fourier extendida al plano complejo, la construcción de funciones de Green en 2D y las integrales de Fresnel en difracción.
9.1 Flujo Potencial y Variable Compleja
En el estudio de fluidos ideales en dos dimensiones, las ecuaciones de movimiento se reducen a la condición de que la velocidad $\mathbf{v} = (u, v)$ derive de dos funciones escalares armónicas conjugadas. Si el flujo es incompresible ($\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$) e irrotacional ($\nabla \times \mathbf{v} = 0$), existe un potencial de velocidad $\phi(x,y)$ y una función de corriente $\psi(x,y)$ tales que:
Estas son precisamente las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo tanto, $\phi$ y $\psi$ son las partes real e imaginaria de una función analítica $F(z)$, denominada potencial complejo:
Propiedades Fundamentales
- La velocidad compleja se obtiene como $w(z) = \overline{F'(z)} = u - iv$. Equivalentemente, $F'(z) = u - iv$.
- Las curvas $\phi = \text{cte}$ son las equipotenciales; las curvas $\psi = \text{cte}$ son las líneas de corriente. Ambas familias son ortogonales entre sí.
- El caudal (flujo volumétrico) entre dos líneas de corriente $\psi_1$ y $\psi_2$ es exactamente $Q = \psi_2 - \psi_1$.
- La circulación alrededor de un contorno cerrado $C$ viene dada por $\Gamma = \Delta\phi$ a lo largo de $C$.
Observación
El potencial complejo $F(z)$ es una función analítica excepto en puntos singulares que representan fuentes, sumideros, vórtices o dobletes. La superposición de potenciales complejos elementales permite modelar flujos de gran complejidad, incluyendo el flujo alrededor de perfiles aerodinámicos mediante el mapeo de Joukowski.
Algunos potenciales complejos elementales son:
- Flujo uniforme: $F(z) = U_0 e^{-i\alpha} z$, donde $U_0$ es la velocidad al infinito y $\alpha$ su ángulo de incidencia.
- Fuente/sumidero de intensidad $m$: $F(z) = \frac{m}{2\pi} \log(z - z_0)$.
- Vórtice de circulación $\Gamma$: $F(z) = -\frac{i\Gamma}{2\pi} \log(z - z_0)$.
- Doblete de momento $\mu$: $F(z) = \frac{\mu}{z - z_0}$.
Este potencial modela el flujo alrededor de un cilindro de radio $a$ con circulación $\Gamma$, y es la base del análisis de la sustentación.
9.2 Electrostática Bidimensional
En regiones del plano libres de carga, el potencial electrostático $\Phi(x,y)$ satisface la ecuación de Laplace $\nabla^2 \Phi = 0$. Por lo tanto, $\Phi$ puede identificarse con la parte real de una función analítica, y su conjugada armónica $\Psi$ describe las líneas de campo eléctrico.
El campo eléctrico se obtiene del potencial complejo:
Potencial Complejo para una Carga Lineal
Una carga lineal uniforme de densidad $\lambda$ (carga por unidad de longitud) que atraviesa perpendicularmente el plano complejo en $z_0$ produce el potencial complejo:
Separando parte real e imaginaria, se recupera el potencial logarítmico familiar $\Phi = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln|z - z_0|$.
Aplicación: Método de Imágenes
El problema de una carga lineal frente a un plano conductor a potencial cero se resuelve introduciendo una carga imagen de signo opuesto en la posición reflejada. El potencial complejo total es:
El módulo de este argumento se anula sobre el eje real, verificando que $\Phi = 0$ sobre el conductor.
9.3 Dinámica de Fluidos: Teorema de Blasius y Sustentación
Para un flujo bidimensional estacionario, incompresible e irrotacional, la fuerza $\mathbf{F} = (F_x, F_y)$ que el fluido ejerce sobre un cuerpo sólido de contorno $C$ está dada por el célebre teorema de Blasius:
donde $\rho$ es la densidad del fluido y $F(z)$ es el potencial complejo del flujo. El momento respecto al origen (útil para calcular el torque) también admite una expresión análoga:
Estas integrales se evalúan elegantemente mediante el teorema del residuo. Para el flujo alrededor de un cilindro con circulación, el desarrollo de Laurent de $dF/dz$ conduce a la fórmula de Kutta-Joukowski:
Teorema de Kutta-Joukowski
La sustentación (fuerza perpendicular al flujo incidente) sobre un cuerpo bidimensional es proporcional a la densidad del fluido $\rho$, a la velocidad del flujo libre $U_0$ y a la circulación $\Gamma$ alrededor del cuerpo. La ausencia de fuerza de arrastre ($F_x = 0$) es una consecuencia de la idealidad del fluido —la célebre paradoja de d'Alembert—.
El mapeo de Joukowski $z = \zeta + c^2/\zeta$ transforma un círculo en el plano $\zeta$ en un perfil aerodinámico (perfil de Joukowski) en el plano $z$, permitiendo calcular la sustentación de perfiles alares reales a partir del flujo alrededor de un cilindro.
Condición de Kutta
Para determinar la circulación $\Gamma$ de manera única en un perfil con borde de salida afilado, se impone la condición de Kutta: la velocidad debe ser finita en el borde de salida, lo que fija $\Gamma = -4\pi U_0 a \sin\alpha$ (para un perfil de Joukowski con ángulo de ataque $\alpha$).
9.4 Transformada de Fourier y Variable Compleja
La transformada de Fourier de una función $f(t)$ se define como:
Extendiendo $\omega$ al plano complejo, $\omega = \omega_R + i\omega_I$, la integral define una función analítica en ciertas regiones del plano complejo. La posibilidad de desplazar el contorno de integración al plano complejo permite evaluar transformadas de Fourier que serían intratables por métodos puramente reales.
Ejemplo: Transformada de una Exponencial Decreciente
Para $f(t) = e^{-a|t|}$ con $a > 0$, la extensión de $\omega$ al semiplano inferior produce una función analítica excepto en polos simples:
Esta representación como diferencia de polos es la base del cálculo de residuos aplicado a la inversión de Fourier. La fórmula de inversión se convierte en una integral de contorno en el plano complejo.
El método se generaliza: para funciones $f(t)$ que decaen exponencialmente, la integral de inversión de Fourier se puede cerrar en el semiplano apropiado y evaluar mediante el teorema del residuo, conduciendo a expresiones cerradas para soluciones de ecuaciones diferenciales.
9.5 Función de Green en 2D mediante Variable Compleja
La función de Green $G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$ para el operador de Laplace en dos dimensiones satisface:
En el plano completo, la solución fundamental es $G_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{1}{2\pi} \ln|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|$, que es precisamente la parte real de $\frac{1}{2\pi}\log(z - z')$. Para dominios con fronteras, la función de Green se construye sumando a $G_0$ una función armónica que satisfaga las condiciones de contorno.
Construcción mediante Mapeo Conforme
Si $w = g(z)$ es un mapeo conforme del dominio $D$ al disco unidad (o al semiplano superior), la función de Green de Dirichlet para $D$ se expresa como:
Esta fórmula, combinada con los mapeos de Schwarz-Christoffel, permite obtener la función de Green para dominios poligonales de gran interés en ingeniería —guías de onda, cavidades resonantes, problemas de difusión—.
Método de Imágenes en el Plano Complejo
Para el semiplano superior $y > 0$ con condición de Dirichlet homogénea en $y = 0$, el método de imágenes complejo da directamente:
La conjugación $\overline{z'}$ refleja el punto fuente respecto del eje real, actuando como una imagen compleja.
9.6 Difracción y Óptica: Integrales de Fresnel
En la teoría escalar de la difracción de Fresnel, la amplitud del campo en un punto de observación se expresa mediante integrales de la forma:
Estas son las integrales de Fresnel, que describen los patrones de difracción de bordes rectos, rendijas y aperturas circulares. Aunque $C(u)$ y $S(u)$ no pueden expresarse en funciones elementales, la variable compleja permite evaluar los límites $C(\infty)$ y $S(\infty)$ de forma exacta.
Evaluación mediante Integración en el Plano Complejo
Consideremos la integral compleja:
Rotando el contorno de integración 45° en el plano complejo (contorno en forma de cuña) y aplicando el teorema de Cauchy a la función entera $e^{i\pi z^2/2}$, se obtiene:
Este resultado es fundamental para la clotoide de Cornu y para el análisis de la difracción de Fresnel en el límite de campo lejano.
La clotoide de Cornu, definida paramétricamente como $(C(u), S(u))$, tiene la notable propiedad de que su curvatura es proporcional a la longitud de arco. Los patrones de difracción de Fresnel se visualizan elegantemente sobre esta espiral, y la intensidad luminosa en el patrón de difracción se expresa en términos de $C(u)$ y $S(u)$.
Principio de Huygens-Fresnel en el Plano Complejo
La formulación de Kirchhoff del principio de Huygens-Fresnel conduce a integrales de difracción que, en la aproximación de Fresnel, involucran exponenciales cuadráticas. La extensión de estas integrales al plano complejo y el uso del método de la fase estacionaria permiten obtener aproximaciones asintóticas de gran precisión para los patrones de difracción en óptica, acústica y microondas.