Capítulo 2 — Funciones Analíticas

1. Límites y continuidad en variable compleja

Sea $f: D \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función compleja definida en un conjunto $D$. Decimos que el límite de $f(z)$ cuando $z$ tiende a $z_0$ es $L$, y escribimos

$$ \lim_{z \to z_0} f(z) = L $$

si para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que

$$ 0 < |z - z_0| < \delta \;\Longrightarrow\; |f(z) - L| < \varepsilon $$

La definición es formalmente idéntica a la del caso real, pero con una diferencia crucial: $z$ puede aproximarse a $z_0$ desde cualquier dirección en el plano, no solo por izquierda o derecha. Esto hace que la existencia de límites en $\mathbb{C}$ sea una condición más restrictiva.

Una función $f$ es continua en $z_0$ si

$$ \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0) $$

Las operaciones algebraicas (suma, producto, cociente donde esté definido) preservan la continuidad, al igual que la composición de funciones continuas.

Importante: Aunque $f(z) = \overline{z}$ es continua en todo $\mathbb{C}$ (pues $|f(z) - f(z_0)| = |\overline{z} - \overline{z_0}| = |z - z_0|$), esto no garantiza que sea derivable, como veremos en la sección siguiente.

2. Derivada compleja

Sea $f$ una función definida en un entorno de $z_0 \in \mathbb{C}$. La derivada compleja de $f$ en $z_0$ se define como el límite del cociente incremental:

$$ f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} $$

si dicho límite existe. Nótese que $h$ es un incremento complejo, por lo que tiende a $0$ en todas las direcciones del plano simultáneamente. Esta es la diferencia fundamental con la derivada en $\mathbb{R}^2$: la derivada compleja exige que el límite sea el mismo independientemente del camino de aproximación de $h$ hacia $0$.

Las reglas usuales de derivación (suma, producto, cociente, regla de la cadena) se extienden sin modificación al caso complejo, siempre que las funciones involucradas sean derivables en el sentido complejo.

Diferencia clave: En cálculo real, una función $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ diferenciable tiene una matriz jacobiana $DF(x,y)$ de $2 \times 2$. La derivada compleja es mucho más restrictiva: la matriz jacobiana debe representar una multiplicación por un número complejo, es decir, debe tener la forma $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$.

3. Ecuaciones de Cauchy–Riemann

Escribamos $f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y)$, donde $u = \operatorname{Re}(f)$ y $v = \operatorname{Im}(f)$ son funciones reales de dos variables reales. Si $f$ es derivable en $z_0 = x_0 + iy_0$, entonces $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann en $(x_0, y_0)$:

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $$

Estas ecuaciones son una condición necesaria para la derivabilidad. Equivalentemente, en coordenadas polares $z = r e^{i\theta}$, las ecuaciones de Cauchy–Riemann toman la forma:

$$ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\qquad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} $$

Para que las ecuaciones de Cauchy–Riemann sean también suficientes, se requiere que $u$ y $v$ tengan derivadas parciales continuas en un entorno de $(x_0, y_0)$ (condición $C^1$). En ese caso, $f$ es derivable en $z_0$ con:

$$ f'(z_0) = u_x(x_0,y_0) + i\,v_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0) - i\,u_y(x_0,y_0) $$

4. Funciones analíticas (holomorfas)

Una función $f$ se dice analítica (u holomorfa) en un conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{C}$ si es derivable en el sentido complejo en todo punto de $U$. La diferencia entre "derivable en un punto" y "analítica en un dominio" es fundamental:

$f(z) = |z|^2 = z\overline{z}$ es derivable solo en $z = 0$ (verificable vía Cauchy–Riemann), por lo que no es analítica en ningún abierto.
$f(z) = z^2$, $f(z) = e^z$, $f(z) = \sin z$ son analíticas en todo $\mathbb{C}$ (se llaman funciones enteras).

Las funciones analíticas gozan de propiedades notables:

Son infinitamente derivables ($C^\infty$).
Admiten desarrollo en serie de potencias (Taylor) alrededor de cada punto de su dominio.
Satisfacen el principio de prolongación analítica y el teorema de Liouville.
La suma, producto, cociente (donde el denominador no se anule) y composición de funciones analíticas es analítica.

Observación: La condición de ser analítica es extraordinariamente fuerte. Muchas propiedades que en $\mathbb{R}$ requieren hipótesis adicionales (como derivada segunda continua) son consecuencias automáticas de la mera existencia de la derivada primera en un conjunto abierto.

5. Funciones armónicas conjugadas

Una función real $h(x,y)$ de clase $C^2$ se dice armónica en un dominio $D$ si satisface la ecuación de Laplace:

$$ \Delta h = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0 $$

Si $f = u + iv$ es analítica en $D$, entonces tanto $u$ como $v$ son armónicas en $D$. En efecto, derivando las ecuaciones de Cauchy–Riemann y usando la igualdad de las derivadas cruzadas (teorema de Clairaut), se obtiene:

$$ u_{xx} = v_{yx} = v_{xy} = -u_{yy} \;\Longrightarrow\; u_{xx} + u_{yy} = 0 $$

y análogamente para $v$. En este contexto, $v$ se llama la armónica conjugada de $u$. Dada una función armónica $u$ en un dominio simplemente conexo, siempre es posible encontrar su armónica conjugada $v$ (única salvo constante aditiva) de modo que $f = u + iv$ sea analítica.

Las líneas de nivel $u = \text{cte}$ y $v = \text{cte}$ forman familias ortogonales entre sí, propiedad que se deduce directamente de las ecuaciones de Cauchy–Riemann.

6. Ejemplos

Polinomios: $P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0$ con $a_k \in \mathbb{C}$. Todo polinomio es una función entera (analítica en todo $\mathbb{C}$). Su derivada se calcula con la regla usual: $P'(z) = n a_n z^{n-1} + \cdots + a_1$.

Exponencial compleja: $f(z) = e^z = e^{x}(\cos y + i\sin y)$. Es entera y satisface $(e^z)' = e^z$. Las partes real e imaginaria son $u(x,y) = e^x \cos y$, $v(x,y) = e^x \sin y$; se verifica que cumplen Cauchy–Riemann y que ambas son armónicas.

Determinación de analiticidad: Para $f(z) = \overline{z} = x - iy$, tenemos $u = x$, $v = -y$. Las derivadas parciales son $u_x = 1$, $v_y = -1$, que violan $u_x = v_y$, por lo que $f$ no es derivable en ningún punto.

Para $f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2$, se tiene $u = x^2 + y^2$, $v = 0$. Las ecuaciones de Cauchy–Riemann exigen $2x = 0$ y $2y = 0$, es decir, solo se satisfacen en el origen. Por tanto, $f$ es derivable solo en $z = 0$, con $f'(0) = 0$, pero no es analítica en ningún entorno.