Capítulo 1 — Números Complejos y el Plano Complejo

1. Definición de número complejo

Un número complejo es una expresión de la forma

$$ z = x + iy $$

donde $x, y \in \mathbb{R}$ e $i$ es la unidad imaginaria, definida por la propiedad fundamental

$$ i^2 = -1 $$

El conjunto de todos los números complejos se denota por $\mathbb{C}$. Dado $z = x + iy$, se define:

Parte real: $\operatorname{Re}(z) = x$
Parte imaginaria: $\operatorname{Im}(z) = y$ (no incluye la $i$)
Conjugado: $\overline{z} = x - iy$
Módulo: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Dos números complejos $z_1 = x_1 + iy_1$ y $z_2 = x_2 + iy_2$ son iguales si y solo si $x_1 = x_2$ e $y_1 = y_2$.

Nota histórica: La unidad imaginaria $i$ fue introducida por Leonhard Euler en 1777. El término "número complejo" fue acuñado por Carl Friedrich Gauss en 1831, quien también popularizó la representación geométrica en el plano.

2. Representación en el plano complejo

Todo número complejo $z = x + iy$ se puede representar como un punto $(x, y)$ en el plano complejo o plano de Argand. El eje horizontal corresponde a la parte real (eje real) y el eje vertical a la parte imaginaria (eje imaginario).

El conjugado $\overline{z} = x - iy$ es la reflexión de $z$ respecto del eje real. Geométricamente, el módulo $|z|$ representa la distancia del punto al origen.

La adición de números complejos corresponde a la suma vectorial en $\mathbb{R}^2$:

$$ z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) $$

Esta isometría entre $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$ permite trasladar toda la intuición geométrica del plano al estudio de los números complejos.

3. Forma polar de un número complejo

Un número complejo $z = x + iy$ también puede expresarse en coordenadas polares $(r, \theta)$, donde

$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ es el módulo (siempre no negativo),
$\theta = \arg(z)$ es el argumento, el ángulo que forma el vector posición con el eje real positivo.

$$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$

El argumento no es único: si $\theta$ es un argumento de $z$, entonces $\theta + 2k\pi$ (con $k \in \mathbb{Z}$) también lo es. Se define el argumento principal, denotado $\operatorname{Arg}(z)$, como el valor en el intervalo $(-\pi, \pi]$.

$$ x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta $$

Cuidado: El argumento principal de un número real negativo es $\pi$, no $-\pi$. Para $z = 0$, el argumento no está definido, aunque el módulo es $|0| = 0$.

4. Fórmula de Euler

La célebre fórmula de Euler establece la relación fundamental entre la exponencial compleja y las funciones trigonométricas:

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$

Esta identidad permite escribir cualquier número complejo en forma exponencial:

$$ z = r\, e^{i\theta} $$

La fórmula de Euler se demuestra mediante el desarrollo en series de potencias de $e^{i\theta}$, $\cos\theta$ y $\sin\theta$, que son absolutamente convergentes para todo $\theta \in \mathbb{R}$.

Un caso particular notable es la identidad de Euler:

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

que conecta las cinco constantes matemáticas más importantes: $e$, $i$, $\pi$, $1$ y $0$.

Propiedad clave: La forma exponencial simplifica drásticamente la multiplicación y división de números complejos, transformando productos en sumas de argumentos.

5. Operaciones en forma polar

Sean $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ y $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$. Entonces:

Producto: $z_1 z_2 = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ (los módulos se multiplican, los argumentos se suman).
Cociente: $\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\, e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$, para $z_2 \neq 0$.
Potencia (De Moivre): $z^n = r^n\, e^{i n\theta}$.

La fórmula de De Moivre se expresa clásicamente como:

$$ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) $$

Esta fórmula es válida para todo $n \in \mathbb{Z}$. Para $n$ entero negativo, se interpreta como la potencia del inverso multiplicativo.

Las raíces $n$-ésimas de un número complejo $z = r e^{i\theta}$ vienen dadas por:

$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\; \exp\!\left(i\,\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right),\qquad k = 0, 1, \dots, n-1 $$

Geométricamente, las $n$ raíces $n$-ésimas de un número complejo no nulo forman los vértices de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen.

6. Topología del plano complejo

La topología de $\mathbb{C}$ se identifica con la de $\mathbb{R}^2$ mediante la métrica euclídea $d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|$. Las definiciones fundamentales son:

Disco abierto (o entorno) de centro $z_0$ y radio $\varepsilon > 0$: $D(z_0, \varepsilon) = \{ z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < \varepsilon \}$.
Conjunto abierto: $U \subseteq \mathbb{C}$ es abierto si para todo $z \in U$ existe $\varepsilon > 0$ tal que $D(z, \varepsilon) \subseteq U$.
Conjunto cerrado: Su complemento es abierto. Equivalentemente, contiene todos sus puntos límite o de acumulación.
Conjunto conexo: No puede expresarse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos. Intuitivamente, es de "una sola pieza".
Región: Conjunto abierto y conexo.
Dominio: Sinónimo de región (en la mayoría de los textos).
Conjunto simplemente conexo: Una región donde toda curva cerrada simple puede contraerse continuamente a un punto sin salir del conjunto.
Conjunto acotado: Está contenido en algún disco $D(0, R)$.

La frontera de un conjunto $A$, denotada $\partial A$, es el conjunto de puntos $z$ tales que todo entorno de $z$ intersecta tanto a $A$ como a su complemento.