Capítulo 5 — Fórmula Integral de Cauchy

5.1 Fórmula Integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy es uno de los resultados más profundos y útiles del análisis complejo. Muestra que los valores de una función analítica en el interior de un contorno cerrado están completamente determinados por sus valores sobre dicho contorno. Esta propiedad, que no tiene análogo en el cálculo real, revela la notable rigidez de las funciones analíticas.

Teorema (Fórmula Integral de Cauchy). Sea $f$ analítica en un dominio simplemente conexo $D$ y sea $C$ un contorno cerrado simple, orientado positivamente, contenido en $D$. Si $z_0$ es un punto interior a $C$, entonces

$$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz $$

La demostración se basa en considerar un pequeño círculo $C_\varepsilon$ centrado en $z_0$ y aplicar el teorema de Cauchy-Goursat en la región anular entre $C$ y $C_\varepsilon$. Al deformar el contorno, la integral sobre $C$ es igual a la integral sobre $C_\varepsilon$. Haciendo $\varepsilon \to 0$, la continuidad de $f$ permite extraer $f(z_0)$ del integrando.

$$ \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz = \lim_{\varepsilon \to 0} \oint_{C_\varepsilon} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz = f(z_0) \oint_{C_\varepsilon} \frac{dz}{z - z_0} = 2\pi i\,f(z_0) $$

Observación. La fórmula de Cauchy muestra que una función analítica es infinitamente diferenciable, pues el integrando depende suavemente de $z_0$ y puede derivarse bajo el signo integral. Esto contrasta fuertemente con el análisis real, donde una función puede ser derivable una vez sin serlo dos veces.

5.2 Derivadas de Funciones Analíticas

Derivando la fórmula integral de Cauchy respecto de $z_0$ bajo el signo integral (lo cual es legítimo por la convergencia uniforme del integrando sobre contornos compactos), obtenemos una representación integral para cada derivada de $f$.

Teorema (Fórmula de Cauchy para derivadas). Si $f$ es analítica en un dominio $D$ y $C$ es un contorno cerrado simple en $D$ que encierra a $z_0$, entonces para todo $n \in \mathbb{N}_0$,

$$ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz $$

Este resultado es revolucionario: toda función analítica posee derivadas de todos los órdenes. En particular, la derivada de una función analítica es, a su vez, analítica. Esto implica que la analiticidad es una propiedad infinitamente más fuerte que la mera diferenciabilidad real.

Consecuencia clave. La existencia de la primera derivada en un entorno abierto implica automáticamente la existencia de todas las derivadas de orden superior y por tanto la representabilidad en serie de potencias (analiticidad en el sentido de Weierstrass).

En particular, para $n = 1$:

$$ f'(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{2}}\,dz $$

5.3 Desigualdades de Cauchy

Acotando la fórmula integral para las derivadas obtenemos estimaciones precisas sobre el crecimiento de las derivadas de una función analítica, conocidas como las desigualdades de Cauchy.

Teorema (Desigualdades de Cauchy). Sea $f$ analítica en $|z - z_0| < R$ y sea $M(R) = \max_{|z-z_0| = R} |f(z)|$. Entonces, para todo $n \in \mathbb{N}_0$,

$$ |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!\,M(R)}{R^n} $$

La demostración utiliza la parametrización $z = z_0 + R e^{i\theta}$ sobre el círculo y la cota $|f(z)| \leq M(R)$:

$$ |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \oint_{|z-z_0|=R} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz \right| \leq \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M(R)}{R^{n+1}} \cdot 2\pi R = \frac{n!\,M(R)}{R^n} $$

Importante. Las desigualdades de Cauchy son óptimas: la igualdad se alcanza para $f(z) = M z^n / R^n$ (salvo factor de fase). Estas cotas son la herramienta fundamental para probar el Teorema de Liouville y, por tanto, el Teorema Fundamental del Álgebra.

5.4 Teorema de Liouville

Una de las consecuencias más elegantes de las desigualdades de Cauchy es el teorema de Liouville, que describe una propiedad global notable de las funciones enteras.

Teorema de Liouville. Si $f$ es una función entera (analítica en todo $\mathbb{C}$) y acotada, es decir, existe $M > 0$ tal que $|f(z)| \leq M$ para todo $z \in \mathbb{C}$, entonces $f$ es constante.

Demostración. Por ser $f$ entera, las desigualdades de Cauchy son válidas para cualquier $R > 0$. Para $n = 1$:

$$ |f'(z_0)| \leq \frac{M}{R} \quad \text{para todo } R > 0 $$

Haciendo $R \to \infty$ se obtiene $f'(z_0) = 0$ para todo $z_0 \in \mathbb{C}$. Por tanto, $f' \equiv 0$ y $f$ es constante.

Interpretación. El teorema de Liouville revela una dicotomía fundamental en las funciones enteras: o bien no son acotadas (como $e^z$, $\sin z$) o bien son constantes. No existe una función entera no constante que sea acotada en todo el plano. Compárese con $\mathbb{R}$: la función $\sin x$ es suave, acotada y no constante en $\mathbb{R}$.

5.5 Teorema Fundamental del Álgebra

El teorema de Liouville proporciona una demostración sorprendentemente breve del teorema fundamental del álgebra, uno de los pilares de las matemáticas.

Teorema Fundamental del Álgebra. Todo polinomio no constante $P(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_0$ con coeficientes complejos y $a_n \neq 0$, $n \geq 1$, posee al menos una raíz en $\mathbb{C}$.

Demostración. Supongamos que $P(z) \neq 0$ para todo $z \in \mathbb{C}$. Entonces $f(z) = 1/P(z)$ es una función entera. Como $\lim_{|z| \to \infty} |P(z)| = \infty$, existe $R > 0$ tal que $|P(z)| \geq 1$ para $|z| \geq R$, y por continuidad $|P(z)|$ tiene un mínimo positivo en el disco compacto $|z| \leq R$. Luego $f(z) = 1/P(z)$ es acotada en todo $\mathbb{C}$. Por el teorema de Liouville, $f$ es constante, lo que implica que $P$ es constante, contradiciendo la hipótesis. Por tanto, $P$ debe tener al menos una raíz.

Nota histórica. Aunque el teorema fue conjeturado en el siglo XVII (Girard, Descartes) y demostrado por primera vez por Gauss en su tesis doctoral de 1799, la demostración vía variable compleja y el teorema de Liouville es la más elegante y concisa.

5.6 Teorema del Módulo Máximo

El teorema del módulo máximo es otra consecuencia profunda de la fórmula de Cauchy y describe el comportamiento del módulo de una función analítica.

Teorema del Módulo Máximo. Sea $f$ analítica en un dominio $D$. Si $|f(z)|$ alcanza un máximo local en un punto interior $z_0 \in D$, entonces $f$ es constante en $D$.

Equivalentemente: si $f$ es analítica y no constante en un dominio $D$, entonces $|f|$ no puede alcanzar un máximo en el interior de $D$. El máximo sobre un compacto debe alcanzarse en la frontera.

La demostración utiliza la propiedad del valor medio: si $f$ es analítica, entonces para cualquier disco $|z - z_0| \leq r$ contenido en $D$,

$$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + r e^{i\theta})\,d\theta $$

Si $|f|$ tiene un máximo en $z_0$, la desigualdad triangular aplicada a esta integral fuerza que $|f|$ sea constante en un entorno, y por el principio de identidad, constante en todo $D$.