Capítulo 6 — Series de Laurent y Singularidades

6.1 Series de Taylor para Funciones Analíticas

Una de las consecuencias más profundas de la fórmula integral de Cauchy es que toda función analítica puede representarse localmente como una serie de potencias convergente. Esta propiedad, conocida como analiticidad en el sentido de Weierstrass, conecta la teoría de Cauchy con la de series de potencias.

Teorema (Desarrollo en serie de Taylor). Sea $f$ analítica en un dominio $D$ y sea $z_0 \in D$. Si $R$ es la distancia de $z_0$ a la frontera de $D$, entonces para todo $z$ con $|z - z_0| < R$,

$$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n, \qquad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{(w - z_0)^{n+1}}\,dw $$

El radio de convergencia $R$ es exactamente la distancia de $z_0$ a la singularidad más cercana de $f$. Esto significa que el dominio natural de convergencia de la serie de Taylor está determinado por las singularidades de la función, un fenómeno puramente complejo sin análogo en variable real.

Ejemplo. La función $f(z) = 1/(1-z)$ es analítica en $\mathbb{C} \setminus \{1\}$. Su desarrollo de Taylor alrededor de $z_0 = 0$ es la serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty z^n$, que converge para $|z| < 1$, justamente la distancia de $0$ a la singularidad en $z = 1$.

6.2 Series de Laurent

Cuando una función tiene singularidades, la serie de Taylor ya no es suficiente. La serie de Laurent generaliza la serie de Taylor permitiendo potencias negativas, y es la herramienta fundamental para estudiar funciones con singularidades aisladas.

Teorema (Desarrollo en serie de Laurent). Sea $f$ analítica en la corona circular $r < |z - z_0| < R$. Entonces $f$ admite un desarrollo único de la forma

$$ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n, \qquad a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{(w - z_0)^{n+1}}\,dw $$

donde $C$ es cualquier contorno cerrado simple en la corona que rodee a $z_0$ en sentido positivo.

La serie de Laurent se descompone en dos partes:

Parte regular: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$ (potencias no negativas).
Parte principal: $\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z - z_0)^n$ (potencias negativas).

La parte principal es la responsable del comportamiento singular de $f$ cerca de $z_0$. Cuando $r = 0$, la serie de Laurent converge en un disco agujereado $0 < |z - z_0| < R$ alrededor de una singularidad aislada.

Ejemplo clásico. $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ en la corona $0 < |z| < 1$ se desarrolla como $\frac{1}{z(z-1)} = -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty} z^n$. La parte principal es $-\frac{1}{z}$ y la regular es $-\sum_{n=0}^{\infty} z^n$.

6.3 Clasificación de Singularidades Aisladas

Sea $z_0$ una singularidad aislada de $f$, es decir, $f$ es analítica en un disco agujereado $0 < |z - z_0| < R$ pero no en $z_0$. El comportamiento de $f$ cerca de $z_0$ permite clasificar la singularidad en tres tipos mutuamente excluyentes, según la naturaleza de la parte principal de su serie de Laurent.

Clasificación. Sea $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$ en $0 < |z - z_0| < R$. La singularidad $z_0$ es:

Removible si $a_n = 0$ para todo $n < 0$ (parte principal nula). Equivalentemente, $\lim_{z \to z_0} f(z)$ existe y es finito.
Polo de orden $m$ si $a_{-m} \neq 0$ y $a_n = 0$ para $n < -m$. Equivalentemente, $\lim_{z \to z_0} |f(z)| = \infty$ y $\lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z)$ existe finito no nulo.
Singularidad esencial si la parte principal tiene infinitos términos no nulos (infinitos $a_n \neq 0$ con $n < 0$).

Atención. Una singularidad removible no es realmente una singularidad: la función puede redefinirse en $z_0$ para volverse analítica. Por ejemplo, $f(z) = \frac{\sin z}{z}$ tiene una singularidad removible en $z = 0$, pues $\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1$.

6.4 Polos y Orden de un Polo

Los polos son el tipo más manejable de singularidad y aparecen frecuentemente en aplicaciones. Diversas caracterizaciones equivalentes facilitan su identificación.

Definición (Polo de orden $m$). $z_0$ es un polo de orden $m \in \mathbb{N}$ de $f$ si y solo si existe una función $\phi$, analítica en un entorno de $z_0$ con $\phi(z_0) \neq 0$, tal que en un disco agujereado alrededor de $z_0$:

$$ f(z) = \frac{\phi(z)}{(z - z_0)^m} $$

Equivalentemente, $z_0$ es un polo de orden $m$ si $a_{-m} \neq 0$ y $a_n = 0$ para todo $n < -m$ en la serie de Laurent. Un polo de orden $1$ se denomina polo simple.

Criterio práctico. Si $f(z) = P(z)/Q(z)$ con $P, Q$ analíticas en $z_0$, $P(z_0) \neq 0$ y $Q$ tiene un cero de orden $m$ en $z_0$, entonces $f$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$.

Ejemplo. $f(z) = \frac{1}{(z-1)^3(z+2)}$ tiene: polo de orden $3$ en $z = 1$ y polo simple en $z = -2$. El orden del polo coincide con la multiplicidad del cero en el denominador (si el numerador no se anula en ese punto).

6.5 Singularidades Esenciales

Las singularidades esenciales presentan el comportamiento más complejo y patológico. Cerca de una singularidad esencial, la función no tiende a ningún límite (finito ni infinito) y su comportamiento es extremadamente errático, como lo describen dos teoremas clásicos.

Teorema de Casorati-Weierstrass. Si $z_0$ es una singularidad esencial de $f$, entonces para cualquier $\varepsilon > 0$, la imagen del disco agujereado $0 < |z - z_0| < \varepsilon$ bajo $f$ es densa en $\mathbb{C}$. Es decir, $f$ se aproxima arbitrariamente a cualquier número complejo en toda vecindad de $z_0$, por pequeña que sea.

El Teorema de Picard refina este resultado de manera drástica:

Teorema (Grande) de Picard. En toda vecindad agujereada de una singularidad esencial, una función analítica toma cada valor complejo infinitas veces, con a lo sumo una excepción.

Ejemplo paradigmático. $f(z) = e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $z = 0$. Su serie de Laurent es $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\,z^{-n}$ (infinitas potencias negativas). Para $z = x \in \mathbb{R}$, $e^{1/x} \to \infty$ cuando $x \to 0^+$ pero $e^{1/x} \to 0$ cuando $x \to 0^-$. El valor excepcional del Teorema de Picard es $0$ (nunca se alcanza). Todo otro valor se toma infinitas veces.

6.6 Residuos

El concepto de residuo captura la esencia de la singularidad de una función y es la piedra angular del cálculo de integrales complejas mediante el teorema del residuo, que se estudiará en el próximo capítulo.

Definición (Residuo). Sea $z_0$ una singularidad aislada de $f$ con desarrollo de Laurent $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$ en $0 < |z - z_0| < R$. El residuo de $f$ en $z_0$ es el coeficiente $a_{-1}$:

$$ \operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z)\,dz $$

donde $C$ es cualquier contorno cerrado simple en la corona que encierre a $z_0$.

El residuo es el único coeficiente de la serie de Laurent que contribuye a la integral de $f$ sobre un contorno cerrado, ya que $\oint_C (z-z_0)^n\,dz = 0$ para todo $n \neq -1$ y $2\pi i$ para $n = -1$.

Para un polo simple en $z_0$, el residuo puede calcularse directamente sin necesidad de desarrollar la serie de Laurent completa:

$$ \operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)\,f(z) $$

Y para un polo de orden $m$:

$$ \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[ (z - z_0)^m f(z) \right] $$