Capítulo 3 — Funciones Elementales

3.1 Función Exponencial Compleja

La extensión natural de la función exponencial al campo complejo se define, para $z = x + iy$, mediante la fórmula de Euler:

$$e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}(\cos y + i\,\operatorname{sen} y)$$

Esta definición preserva las propiedades fundamentales de la exponencial real. En particular, la aditividad del exponente se mantiene:

$$e^{z_1+z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}, \qquad \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}$$

La función exponencial compleja es entera —analítica en todo $\mathbb{C}$— y su derivada coincide con ella misma: $\frac{d}{dz}e^z = e^z$. Se deduce de las ecuaciones de Cauchy-Riemann aplicadas a $u(x,y)=e^x\cos y$ y $v(x,y)=e^x\operatorname{sen} y$.

Una diferencia crucial con la exponencial real es la periodicidad. Dado que $\cos$ y $\operatorname{sen}$ son periódicas con período $2\pi$, se tiene:

$$e^{z+2\pi i} = e^z, \qquad \forall z \in \mathbb{C}$$

El período fundamental es $2\pi i$. Más aún, $e^{z_1}=e^{z_2}$ si y solo si $z_1 - z_2 = 2k\pi i$ para algún $k \in \mathbb{Z}$. La exponencial compleja es suprayectiva sobre $\mathbb{C}\setminus\{0\}$: para todo $w \neq 0$ existen infinitos $z$ tales que $e^z = w$.

Propiedades clave de $e^z$

$e^z \neq 0$ para todo $z \in \mathbb{C}$ (la exponencial nunca se anula).
$|e^z| = e^{\operatorname{Re}(z)} = e^x$.
$\arg(e^z) = \operatorname{Im}(z) + 2k\pi = y + 2k\pi$.
$e^{\overline{z}} = \overline{e^z}$.
La exponencial mapea rectas verticales en circunferencias, y rectas horizontales en rayos.

3.2 Logaritmo Complejo

El logaritmo complejo se define como la función inversa de la exponencial. Dado $z \neq 0$, todo número $w$ que satisface $e^w = z$ es un logaritmo de $z$. A diferencia del caso real, el logaritmo complejo es multivaluado:

$$\log z = \ln|z| + i\,\arg(z) = \ln r + i(\theta + 2k\pi), \qquad k \in \mathbb{Z}$$

donde $z = r e^{i\theta}$ con $r = |z|$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$ (el argumento principal en $(-\pi,\pi]$).

Rama principal del logaritmo

Para obtener una función univaluada (analítica), se elige una rama fijando el intervalo del argumento. La rama principal $\operatorname{Log} z$ corresponde a restringir $\arg(z)$ al intervalo $(-\pi,\pi]$:

$$\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\,\operatorname{Arg}(z), \qquad \operatorname{Arg}(z) \in (-\pi,\pi]$$

$\operatorname{Log} z$ es analítica en $\mathbb{C} \setminus (-\infty,0]$ (el plano cortado a lo largo del semieje real negativo), y su derivada es $\frac{d}{dz}\operatorname{Log} z = \frac{1}{z}$.

La propiedad aditiva del logaritmo se expresa en términos de conjuntos de valores (módulo $2\pi i$):

$$\log(z_1 z_2) = \log z_1 + \log z_2 \pmod{2\pi i}$$

Para la rama principal, $\operatorname{Log}(z_1z_2) = \operatorname{Log} z_1 + \operatorname{Log} z_2$ no siempre se verifica; solo se cumple si $\operatorname{Arg}(z_1)+\operatorname{Arg}(z_2) \in (-\pi,\pi]$.

Ejemplo fundamental

$\operatorname{Log}(-1) = \ln 1 + i\pi = \pi i$.

$\operatorname{Log}(i) = \ln 1 + i\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2}$.

$\operatorname{Log}(1+i) = \ln\sqrt{2} + i\frac{\pi}{4} = \tfrac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}$.

3.3 Potencias Complejas

Para $\alpha \in \mathbb{C}$ y $z \neq 0$, la potencia compleja $z^{\alpha}$ se define mediante la exponencial y el logaritmo:

$$z^{\alpha} = e^{\alpha \log z}$$

Debido a la naturaleza multivaluada del logaritmo, $z^{\alpha}$ es en general una función multivaluada, a menos que $\alpha$ sea un entero. La rama principal de $z^{\alpha}$ se obtiene usando la rama principal del logaritmo:

$$z^{\alpha} = e^{\alpha \operatorname{Log} z}$$

Casos particulares importantes:

Si $\alpha = n \in \mathbb{Z}$, entonces $z^n$ es univaluada y coincide con la potencia entera usual.
Si $\alpha = 1/n$ con $n \in \mathbb{N}$, $z^{1/n} = \sqrt[n]{z}$ tiene exactamente $n$ valores distintos (las $n$ raíces $n$-ésimas de $z$).
Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $z^{\alpha}$ tiene infinitos valores.

Ejemplo: $i^i$

Usando la rama principal: $\operatorname{Log} i = i\pi/2$, luego $i^i = e^{i \cdot i\pi/2} = e^{-\pi/2} \approx 0{,}2079$ (¡un número real!).

Los demás valores son $i^i = e^{-\pi/2 + 2k\pi}$ para $k \in \mathbb{Z}$.

3.4 Funciones Trigonométricas Complejas

Las funciones $\operatorname{sen} z$ y $\cos z$ se extienden a $\mathbb{C}$ mediante las identidades de Euler:

$$\operatorname{sen} z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$

Estas definiciones son consistentes con los valores reales cuando $z \in \mathbb{R}$. Ambas funciones son enteras y sus derivadas son las esperadas: $\frac{d}{dz}\operatorname{sen} z = \cos z$, $\frac{d}{dz}\cos z = -\operatorname{sen} z$.

Cuidado: Las funciones trigonométricas complejas no son acotadas

A diferencia de sus contrapartes reales, $\operatorname{sen} z$ y $\cos z$ no están acotadas en $\mathbb{C}$. Por ejemplo, para $z = iy$ con $y \in \mathbb{R}$:

$$\operatorname{sen}(iy) = i\,\operatorname{senh} y, \qquad \cos(iy) = \cosh y$$

Estas expresiones crecen sin cota cuando $|y| \to \infty$, lo que muestra que $|\operatorname{sen} z|$ y $|\cos z|$ pueden ser arbitrariamente grandes.

Las identidades trigonométricas familiares se preservan en el plano complejo:

$\operatorname{sen}^2 z + \cos^2 z = 1$
$\operatorname{sen}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{sen} z_1 \cos z_2 \pm \cos z_1 \operatorname{sen} z_2$
$\cos(z_1 \pm z_2) = \cos z_1 \cos z_2 \mp \operatorname{sen} z_1 \operatorname{sen} z_2$
$\operatorname{sen}(z+2\pi) = \operatorname{sen} z$, $\cos(z+2\pi) = \cos z$ (periodicidad $2\pi$)

3.5 Funciones Hiperbólicas Complejas

Las funciones hiperbólicas se definen en $\mathbb{C}$ de manera análoga al caso real:

$$\operatorname{senh} z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}, \qquad \cosh z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}$$

Ambas son funciones enteras, con derivadas $\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z = \cosh z$ y $\frac{d}{dz}\cosh z = \operatorname{senh} z$. La periodicidad de las funciones hiperbólicas complejas es $2\pi i$: $\operatorname{senh}(z+2\pi i) = \operatorname{senh} z$, $\cosh(z+2\pi i) = \cosh z$.

La conexión fundamental entre funciones trigonométricas e hiperbólicas se expresa mediante:

$$\operatorname{sen}(iz) = i\,\operatorname{senh} z, \qquad \cos(iz) = \cosh z$$

$$\operatorname{senh}(iz) = i\,\operatorname{sen} z, \qquad \cosh(iz) = \cos z$$

Estas relaciones explican por qué las funciones trigonométricas complejas no son acotadas: sobre el eje imaginario se comportan como funciones hiperbólicas, que crecen exponencialmente. De manera recíproca, las funciones hiperbólicas sobre el eje imaginario se convierten en funciones trigonométricas acotadas.

Las identidades hiperbólicas también se preservan:

$\cosh^2 z - \operatorname{senh}^2 z = 1$
$\operatorname{senh}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{senh} z_1 \cosh z_2 \pm \cosh z_1 \operatorname{senh} z_2$
$\cosh(z_1 \pm z_2) = \cosh z_1 \cosh z_2 \pm \operatorname{senh} z_1 \operatorname{senh} z_2$

3.6 Funciones Trigonométricas Inversas y Expresiones Logarítmicas

Las funciones trigonométricas inversas complejas se expresan de manera natural en términos del logaritmo. A partir de la definición de $\operatorname{sen} w = z$, resolviendo la ecuación cuadrática en $e^{iw}$ se obtiene:

$$\operatorname{arcsen} z = -i\,\log\!\bigl(iz + \sqrt{1 - z^2}\,\bigr)$$

Análogamente, para las demás funciones inversas se deducen las expresiones:

$$\arccos z = -i\,\log\!\bigl(z + i\sqrt{1 - z^2}\,\bigr) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsen} z$$

$$\arctan z = \frac{i}{2}\,\log\!\left(\frac{i+z}{i-z}\right) = \frac{1}{2i}\,\log\!\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)$$

Todas estas funciones son multivaluadas debido al logaritmo y a la raíz cuadrada involucradas. Sus ramas principales se obtienen seleccionando las ramas principales del logaritmo y de la raíz cuadrada.

Derivadas de las funciones inversas

Las derivadas de las ramas principales son idénticas a las del caso real:

$\displaystyle \frac{d}{dz}\operatorname{arcsen} z = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$
$\displaystyle \frac{d}{dz}\arccos z = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$
$\displaystyle \frac{d}{dz}\arctan z = \frac{1}{1+z^2}$

Las funciones hiperbólicas inversas también admiten expresiones logarítmicas análogas:

$\operatorname{argsenh} z = \log(z + \sqrt{z^2 + 1})$
$\operatorname{argcosh} z = \log(z + \sqrt{z^2 - 1})$
$\operatorname{argtanh} z = \frac{1}{2}\log\!\left(\frac{1+z}{1-z}\right)$

Capítulo 3 — Funciones Elementales Complejas