Capítulo 7 — Teorema del Residuo

Cálculo de integrales mediante residuos y aplicaciones a integrales reales
Prof. Mariano Miguel Lanzi

El teorema del residuo es una de las herramientas más poderosas del análisis complejo. Permite evaluar integrales de contorno —y por extensión, una amplia clase de integrales reales definidas— reduciendo el problema al cálculo de ciertos coeficientes llamados residuos. En este capítulo desarrollamos la teoría de residuos y exploramos sus aplicaciones más importantes.

7.1 Cálculo de residuos

Sea $f$ una función analítica en un dominio anular $0 \lt |z - z_0| \lt R$, con una singularidad aislada en $z_0$. La serie de Laurent de $f$ alrededor de $z_0$ es:

$$ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n $$

El residuo de $f$ en $z_0$, denotado $\operatorname{Res}(f, z_0)$, es el coeficiente $a_{-1}$ de la serie de Laurent. Equivalentemente:

$$ \operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} f(z)\,dz $$

donde $C$ es cualquier curva cerrada simple positivamente orientada que encierra a $z_0$ y ningún otro punto singular de $f$.

Fórmula para polo simple

Si $z_0$ es un polo simple de $f$, el residuo se calcula directamente mediante el límite:

$$ \operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) $$

Fórmula para polo de orden $m$

Si $z_0$ es un polo de orden $m$, el residuo se obtiene de:

$$ \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \bigl[ (z - z_0)^m f(z) \bigr] $$

Caso frecuente: cociente de funciones analíticas

Si $f(z) = g(z)/h(z)$ con $g$ y $h$ analíticas, $g(z_0) \neq 0$, $h(z_0) = 0$ y $h'(z_0) \neq 0$ (polo simple), entonces:

$$ \operatorname{Res}\!\left(\frac{g}{h}, z_0\right) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)} $$

Para singularidades esenciales, el residuo debe obtenerse directamente de la serie de Laurent, ya que no existe una fórmula cerrada análoga.

7.2 Teorema del residuo

El teorema central de este capítulo unifica el cálculo de integrales de contorno para funciones con singularidades aisladas.

Teorema del Residuo (Cauchy, 1846)

Sea $C$ una curva cerrada simple positivamente orientada, y sea $f$ una función analítica sobre $C$ y en su interior, excepto por un número finito de singularidades aisladas $z_1, z_2, \dots, z_n$ en el interior de $C$. Entonces:

$$ \oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, z_k) $$

La integral de contorno queda determinada exclusivamente por los residuos en las singularidades interiores a $C$.

Este resultado generaliza el teorema de Cauchy-Goursat (cuando no hay singularidades, la integral es nula) y la fórmula integral de Cauchy. La demostración se basa en deformar el contorno $C$ en pequeños círculos alrededor de cada singularidad y aplicar el desarrollo de Laurent.

Ejemplo. Calculemos $\displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2(z-1)}\,dz$. Las singularidades interiores al contorno son $z = 0$ (polo de orden 2) y $z = 1$ (polo simple).

Para $z=0$: $\operatorname{Res}(f,0) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\!\left[z^2 f(z)\right] = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz}\!\left[\frac{e^z}{z-1}\right] = \lim_{z \to 0} \frac{e^z(z-1) - e^z}{(z-1)^2} = -2$.

Para $z=1$: $\operatorname{Res}(f,1) = \lim_{z \to 1} (z-1)f(z) = \lim_{z \to 1} \frac{e^z}{z^2} = e$.

La integral vale: $\oint f(z)dz = 2\pi i (-2 + e) = 2\pi i (e - 2)$.

7.3 Residuo en el infinito

Para una función $f$ analítica en una vecindad del infinito (es decir, para $|z| \gt R$ suficientemente grande), se define el residuo en el infinito como:

$$ \operatorname{Res}(f, \infty) = -\operatorname{Res}\!\left( \frac{1}{z^2}\, f\!\left(\frac{1}{z}\right),\; 0 \right) $$

El signo negativo refleja el cambio de orientación: al rodear el infinito en sentido positivo (antihorario), el contorno en el plano finito se recorre en sentido negativo respecto del origen.

Teorema de la suma total de residuos

Si $f$ es analítica en todo el plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}}$ excepto por un número finito de singularidades aisladas $z_1, \dots, z_n$, entonces la suma de todos los residuos, incluyendo el del infinito, es cero:

$$ \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, z_k) + \operatorname{Res}(f, \infty) = 0 $$

Este resultado es extremadamente útil, ya que permite calcular la suma de residuos en el plano finito evaluando un solo residuo en el infinito (o viceversa).

Ejemplo. Si $f(z) = \dfrac{z^3}{z^4+1}$, calcular la suma de residuos en todos los polos finitos. Para aplicar el teorema, evaluamos $f(1/z)/z^2 = \dfrac{1/z^3}{1/z^4+1} \cdot \dfrac{1}{z^2} = \dfrac{1}{z^5 + z}$. Cerca de $z=0$, $1/(z + z^5) = 1/z \cdot 1/(1+z^4) = 1/z - z^3 + \cdots$, con $\operatorname{Res} = 1$. Luego $\operatorname{Res}(f, \infty) = -1$, y por tanto la suma de residuos finitos es $1$.

7.4 Aplicación a integrales trigonométricas reales

Consideremos integrales de la forma:

$$ I = \int_{0}^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta $$

donde $R$ es una función racional de $\cos\theta$ y $\sin\theta$, finita sobre el intervalo de integración. La sustitución clave es $z = e^{i\theta}$, que implica:

$$ \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}, \qquad d\theta = \frac{dz}{iz} $$

La integral se transforma en una integral de contorno sobre la circunferencia unitaria $|z| = 1$:

$$ I = \oint_{|z|=1} R\!\left(\frac{z+z^{-1}}{2}, \frac{z-z^{-1}}{2i}\right) \frac{dz}{iz} = 2\pi i \sum_{|z_k|\lt 1} \operatorname{Res}(f, z_k) $$

donde $f(z) = \dfrac{1}{iz}\, R\!\left(\dfrac{z+z^{-1}}{2}, \dfrac{z-z^{-1}}{2i}\right)$ y la suma se extiende solo a los polos interiores al círculo unitario.

Ejemplo: $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4\cos\theta}$

Sustituyendo $z = e^{i\theta}$: $\displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 2(z+z^{-1})} \frac{dz}{iz} = \frac{1}{i} \oint \frac{dz}{2z^2 + 5z + 2}$.

Los polos del denominador son $z = -1/2$ y $z = -2$. Solo $z = -1/2$ está dentro del círculo unitario. Evaluando: $\operatorname{Res}(f, -1/2) = \dfrac{1}{i} \cdot \dfrac{1}{2(-1/2)+5} = \dfrac{1}{4i}$. La integral vale $2\pi i \cdot \dfrac{1}{4i} = \dfrac{\pi}{2}$.

7.5 Aplicación a integrales impropias de funciones racionales

Consideremos integrales del tipo:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx $$

donde $P$ y $Q$ son polinomios con $\deg Q \ge \deg P + 2$ y $Q(x) \neq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ (ausencia de polos en el eje real).

La estrategia consiste en integrar $f(z) = P(z)/Q(z)$ sobre el contorno semicircular $\Gamma_R$ compuesto por el segmento $[-R, R]$ sobre el eje real y la semicircunferencia $C_R$ (en el semiplano superior) de radio $R$. Cuando $R \to \infty$, la integral sobre $C_R$ tiende a cero, y el teorema del residuo arroja:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im}(z_k) \gt 0} \operatorname{Res}\!\left( \frac{P}{Q},\, z_k \right) $$

La condición $\deg Q \ge \deg P + 2$ garantiza la convergencia absoluta de la integral y que la contribución del arco semicircular desaparezca en el límite.

Ejemplo: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1}$

$f(z) = 1/(z^2+1)$ tiene polos simples en $z = \pm i$. Solo $z = i$ está en el semiplano superior. $\operatorname{Res}(f, i) = 1/(2i)$. Por tanto, la integral vale $2\pi i \cdot 1/(2i) = \pi$.

7.6 Integrales con funciones trigonométricas y Lema de Jordan

Para integrales del tipo:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{imx}\,dx \qquad (m \gt 0) $$

la estimación del arco semicircular es más delicada. El Lema de Jordan proporciona la herramienta necesaria.

Lema de Jordan

Sea $f(z)$ analítica en el semiplano superior $\operatorname{Im}(z) \ge 0$, excepto posiblemente por singularidades aisladas. Si $f(z) \to 0$ uniformemente cuando $|z| \to \infty$ en el semiplano superior, entonces para todo $m \gt 0$:

$$ \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\, e^{imz}\, dz = 0 $$

donde $C_R$ es la semicircunferencia $z = R e^{i\theta}$, $0 \le \theta \le \pi$. La demostración se apoya en la desigualdad $\sin\theta \ge 2\theta/\pi$ para $\theta \in [0, \pi/2]$.

Combinando el Lema de Jordan con el teorema del residuo se obtiene la fórmula de evaluación:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{imx}\,dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im}(z_k) \gt 0} \operatorname{Res}\!\bigl( f(z)\, e^{imz},\, z_k \bigr) \qquad (m \gt 0) $$

Tomando partes real e imaginaria, se evalúan simultáneamente $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(mx)\,dx$ e $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(mx)\,dx$.

Ejemplo: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1}\,dx$

Consideramos $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1}\,dx$. $f(z) = e^{iz}/(z^2+1)$ cumple el Lema de Jordan ($m=1$). Polo en $z=i$ en el semiplano superior: $\operatorname{Res}(f, i) = e^{-1}/(2i)$. La integral vale $2\pi i \cdot e^{-1}/(2i) = \pi/e$. La parte real da $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+1}\,dx = \pi/e$, y la parte imaginaria se anula por paridad.

Cuestionario

1. El residuo de una función $f$ en una singularidad aislada $z_0$ se define como:

2. Si $z_0$ es un polo simple de $f$, el residuo se calcula mediante:

3. Para un polo de orden $m$ en $z_0$, la fórmula general del residuo es:

4. El teorema del residuo establece que para $f$ analítica en y dentro de $C$ salvo singularidades $z_k$:

5. El residuo de $f$ en el infinito se define como:

6. Al sustituir $z = e^{i\theta}$, la integral $\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta$ se transforma en:

7. Para $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$ con $\deg Q \ge \deg P + 2$ y $Q(x) \neq 0$ en $\mathbb{R}$, la integral es:

8. El Lema de Jordan establece que para $m \gt 0$ y $f(z) \to 0$ uniformemente en el semiplano superior:

9. El residuo de $f(z) = \dfrac{1}{z^2 + 1}$ en el polo $z = i$ es:

10. ¿Cuánto vale $\displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz$?