Capítulo 8 — Mapeo Conforme
El mapeo conforme constituye una de las ramas más elegantes del análisis complejo, con profundas conexiones con la geometría diferencial, la dinámica de fluidos y la teoría del potencial. Una función analítica con derivada no nula preserva localmente los ángulos entre curvas, tanto en magnitud como en orientación, permitiendo transformar problemas de contorno en dominios complicados a dominios simples donde la solución es conocida.
8.1 Definición de mapeo conforme
Sea $w = f(z)$ una función definida en un dominio $D \subseteq \mathbb{C}$. Decimos que $f$ es un mapeo conforme en $z_0 \in D$ si preserva los ángulos entre curvas que pasan por $z_0$, tanto en magnitud como en sentido (orientación).
Geométricamente, si dos curvas $\gamma_1$ y $\gamma_2$ se cortan en $z_0$ formando un ángulo $\theta$, sus imágenes $\Gamma_1 = f(\gamma_1)$ y $\Gamma_2 = f(\gamma_2)$ se cortan en $w_0 = f(z_0)$ formando el mismo ángulo $\theta$.
Propiedades fundamentales
Un mapeo conforme $f$ posee dos efectos locales sobre una figura infinitesimal alrededor de $z_0$:
- Rotación: cada dirección se rota un ángulo $\arg f'(z_0)$.
- Dilatación: las longitudes se multiplican por el factor $|f'(z_0)|$.
Ambos efectos son independientes de la dirección, lo que garantiza la preservación de ángulos.
La propiedad conforme es local: una función puede ser conforme en cada punto de un dominio sin ser inyectiva globalmente. Cuando además es inyectiva (biyectiva sobre su imagen), se habla de un mapeo conforme global o transformación conforme.
8.2 Condición de conformidad
La condición necesaria y suficiente para que una función analítica $f$ sea conforme en $z_0$ es la siguiente:
Esta condición se deriva del hecho de que localmente $f(z) \approx f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0)$. La parte lineal es una transformación del tipo $w = \alpha z + \beta$ con $\alpha = f'(z_0) \neq 0$, que es una semejanza directa (composición de rotación y homotecia), y por tanto preserva ángulos.
Puntos críticos y no conformidad
En un punto donde $f'(z_0) = 0$, el mapeo no es conforme. Por ejemplo, $w = z^2$ en $z = 0$ duplica los ángulos: dos rayos que parten del origen con ángulo $\theta$ se transforman en rayos con ángulo $2\theta$. Los puntos donde $f'(z) = 0$ se denominan puntos críticos del mapeo.
En términos de las ecuaciones de Cauchy-Riemann $u_x = v_y$, $u_y = -v_x$, el jacobiano de la transformación $(x,y) \mapsto (u,v)$ es:
La condición $f'(z_0) \neq 0$ equivale a $J_f(z_0) \gt 0$, es decir, el jacobiano es positivo, lo que garantiza tanto la invertibilidad local (teorema de la función inversa) como la preservación de la orientación.
8.3 Transformaciones de Möbius
Las transformaciones de Möbius (o transformaciones lineales fraccionarias) constituyen la familia más importante de mapeos conformes globales. Tienen la forma:
con $a, b, c, d \in \mathbb{C}$. La condición $ad - bc \neq 0$ garantiza que $T$ no es constante y que es invertible. Estas transformaciones mapean el plano complejo extendido $\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ de manera biyectiva.
Propiedades del grupo de Möbius
- La composición de dos transformaciones de Möbius es otra transformación de Möbius.
- La inversa de $T(z) = (az+b)/(cz+d)$ es $T^{-1}(w) = (dw - b)/(-cw + a)$.
- Toda transformación de Möbius puede descomponerse en traslaciones, rotaciones, homotecias e inversiones.
- Mapean circunferencias y rectas en circunferencias y rectas (considerando las rectas como circunferencias que pasan por $\infty$).
Una propiedad fundamental es la invariancia de la razón cruzada. Para cuatro puntos distintos $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \widehat{\mathbb{C}}$, la razón cruzada se define como:
Para toda transformación de Möbius $T$, se cumple:
Esta invariancia permite construir explícitamente la transformación de Möbius que envía tres puntos dados a otros tres puntos imagen.
Clasificación de transformaciones de Möbius
Según el valor de $\operatorname{tr}^2(T) = (a+d)^2/(ad-bc)$, las transformaciones se clasifican en:
- Elípticas: $0 \le \operatorname{tr}^2 \lt 4$ (dos puntos fijos conjugados).
- Parabólicas: $\operatorname{tr}^2 = 4$ (un solo punto fijo).
- Hiperbólicas: $\operatorname{tr}^2 \gt 4$ (dos puntos fijos reales).
- Loxodrómicas: $\operatorname{tr}^2 \notin [0,4]$ y $\operatorname{tr}^2 \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$.
8.4 Principio de correspondencia de fronteras
El principio de correspondencia de fronteras es una herramienta fundamental para construir mapeos conformes entre dominios. Establece condiciones bajo las cuales un mapeo conforme puede extenderse continuamente hasta la frontera.
Teorema (Principio de correspondencia de fronteras)
Sean $D$ y $D'$ dos dominios simplemente conexos cuyas fronteras son curvas de Jordan (curvas cerradas simples). Si $f: D \to D'$ es un mapeo conforme biyectivo, entonces $f$ se extiende a un homeomorfismo $\overline{f}: \overline{D} \to \overline{D'}$. En particular, $f$ establece una correspondencia biyectiva y continua entre las fronteras $\partial D$ y $\partial D'$.
Este principio permite reducir el problema de encontrar un mapeo conforme entre dos dominios al problema de hacer corresponder sus fronteras de manera adecuada. La orientación de las fronteras se preserva: al recorrer $\partial D$ en sentido positivo, la imagen recorre $\partial D'$ también en sentido positivo.
Precaución sobre dominios con fronteras no suaves
Para dominios con esquinas o vértices (como polígonos), el mapeo conforme sigue existiendo, pero la extensión a la frontera puede no preservar ángulos en los vértices. Precisamente este fenómeno motiva la transformación de Schwarz-Christoffel.
8.5 Transformación de Schwarz-Christoffel
La transformación de Schwarz-Christoffel proporciona una fórmula explícita para mapear conformemente el semiplano superior $\mathbb{H} = \{z: \operatorname{Im}(z) \gt 0\}$ (o el disco unitario) sobre el interior de un polígono.
Sea $P$ un polígono en el plano $w$ con vértices $w_1, w_2, \dots, w_n$ y ángulos interiores $\alpha_1 \pi, \alpha_2 \pi, \dots, \alpha_n \pi$ (con $0 \lt \alpha_k \lt 2$, $\alpha_k \neq 1$). La transformación que mapea $\mathbb{H}$ sobre el interior de $P$ viene dada por:
donde:
- $x_1 \lt x_2 \lt \dots \lt x_n$ son puntos en el eje real que se mapean a los vértices $w_k = f(x_k)$.
- $A$ y $B$ son constantes complejas que controlan la escala, rotación y traslación del polígono.
- Los exponentes $\alpha_k$ satisfacen la condición geométrica:
Esta sumatoria refleja el hecho de que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $(n-2)\pi$.
En cada punto $x_k$ del eje real, el argumento del integrando cambia bruscamente en $\pi(\alpha_k - 1)$, lo que produce un quiebre en la imagen. La potencia $(\zeta - x_k)^{\alpha_k - 1}$ actúa como un operador que "abre" o "cierra" el ángulo localmente.
Fórmula para el disco unitario
Para mapear el disco unitario $\mathbb{D}$ sobre el polígono $P$, la fórmula toma la forma:
donde $z_k \in \partial \mathbb{D}$ son las preimágenes de los vértices del polígono.
8.6 Ejemplos: transformación de Joukowski
La transformación de Joukowski es uno de los mapeos conformes más célebres por su aplicación en aerodinámica. Se define como:
o en su forma normalizada $w = \frac{1}{2}\!\left(z + \frac{1}{z}\right)$. Esta transformación mapea el exterior del círculo unitario sobre todo el plano complejo excepto el segmento $[-2, 2]$ (o $[-1, 1]$ en la versión normalizada).
Perfil aerodinámico de Joukowski
La transformación de Joukowski mapea circunferencias que pasan por $z = 1$ (o $z = -1$) en curvas con forma de perfil alar (airfoil). Variando el centro de la circunferencia original se obtienen distintos perfiles aerodinámicos con propiedades de sustentación predecibles.
Este fue el primer método matemático para diseñar perfiles alares y constituye la base teórica del teorema de Kutta-Joukowski sobre la sustentación.
Propiedades de $J(z) = z + 1/z$:
- Es analítica en $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ con derivada $J'(z) = 1 - 1/z^2$.
- Los puntos críticos son $z = \pm 1$, donde $J'(z) = 0$ (el mapeo no es conforme).
- Mapea circunferencias $|z| = r$ ($r \neq 1$) en elipses de focos $\pm 2$.
- Mapea rayos $\arg z = \theta$ en ramas de hipérbolas de focos $\pm 2$.
La imagen del círculo unitario es el segmento $[-2, 2]$ recorrido dos veces. Esta degeneración refleja que el círculo unitario contiene los puntos críticos del mapeo.
Para construir un perfil aerodinámico, se considera una circunferencia $C$ que pasa por $z = 1$, con centro en $c$ (típicamente en el segundo cuadrante). La imagen $J(C)$ es una curva cerrada suave salvo en el punto correspondiente a $z=1$, donde se forma un borde de salida afilado (cúspide), característica esencial de los perfiles alares.